Giải bài 4 trang 72

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 4), B(-1; 1), C(-8; 2).

a) Tính số đo góc ABC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

b) Tính chu vi của tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Với hai vectơ $\vec{u} = (x_{1}, y_{1})$ , $\vec{v} = (x_{2}, y_{2})$ đều khác vectơ không, ta có:

+ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} = 0$ .

+ $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | | \vec{v} |} = \frac{x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} . \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ .

b) Chu vi tam giác bằng tổng độ dài 3 cạnh.

c) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là: $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{B C} = (- 7; 1)$ , $\vec{B A} = (3; 3)$ .

$\cos \hat{A B C} = (\vec{B C}, \vec{B A})$

$= \frac{(- 7) .3 + 1.3}{\sqrt{{(- 7)}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{3^{2} + 3^{2}}} = - \frac{3}{5}$

$\Rightarrow \hat{A B C} \approx 126^{o}$ .

b) Ta có: $\vec{B C} = (- 7; 1)$ , $\vec{B A} = (3; 3)$ , $\vec{A C} = (- 10; - 2)$ .

Suy ra: $A B = | \vec{B A} | = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{2}$ ;

$A C = | \vec{A C} | = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{104}$ ;

$B C = | \vec{B C} | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{50}$ .

Vậy chu vi tam giác ABC là: $P_{A B C} = 2 \sqrt{26} + 8 \sqrt{2}$ .

c) Để diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM thì M phải là trung điểm BC.

Tọa độ điểm M là: ${\begin{cases} \frac{x_{B} + x_{C}}{2} = \frac{- 9}{2} \\ \frac{y_{B} + y_{C}}{2} = \frac{3}{2} \end{cases}$ .

Vậy $M (\frac{- 9}{2}; \frac{3}{2})$ .