Giải bài 4 trang 72

Cho tam giác

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ ( $A B < A C$ ). Tia phân giác của góc $B$ cắt $A C$ tại $D$ . Trên $B C$ lấy điểm $E$ sao cho $B E = B A$ .

a) Chứng minh rằng $Δ A B D = Δ E B D$

b) Kẻ đường cao $A H$ của tam giác $A B C$ . Chứng minh rằng tứ giác $A D E H$ là hình thang vuông.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $A H$ với $B D$ , đường thẳng $E I$ cắt $A B$ tại $F$ . Chứng minh rằng tứ giác $A C E F$ là hình thang vuông.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng trường hợp bằng nhau c-g-c

b) + c) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thang và định nghĩa hình thang vuông

Lời giải chi tiết

a) Xét $Δ A B D$ và $Δ E B D$ ta có:

$B A = B E$ (gt)

$\hat{A B D} = \hat{E B D}$ (do $B D$ là phân giác)

$B D$ chung

Do đó $Δ A B D = Δ E B D$ (c-g-c)

b) Vì $Δ A B D = Δ E B D$ (cmt) nên $\hat{B A D} = \hat{B E D} = 90^{\circ}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra $D E ⊥ B C$

Mà $A H ⊥ B C$ (gt)

Do đó $A H$ // $D E$

Suy ra $A D E H$ là hình thang

Mà $\hat{D E B} = 90$ (cmt) nên $A D E H$ là hình thang vuông

c) Gọi $K$ là giao điểm của $A E$ và $B D$ , khi đó $B K$ là phân giác của $\hat{A B C}$

Mà $Δ A B E$ cân tại $B$ (do $B A = B E$ )

Suy ra $B K$ cũng là đường cao

Xét $Δ A B E$ có hai đường cao $B K$ và $A H$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trực tâm của $Δ A B E$

Suy ra $E F ⊥ A B$

Mà $A C ⊥ A B$ (do $Δ A B C$ vuông tại $A$ ) nên $A C$ // $E F$

Suy ra $A C E F$ là hình thang

Mà $\hat{F A C} = 90^{\circ}$ (gt)

Do đó $A C E F$ là hình thang vuông