Giải bài 4 trang 76

Đề bài

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A\left(2;4;0\right),B\left(4;0;0\right),C\left(-1;4;-7\right)$ và $D^{\prime }\left(6;8;10\right)$. Tìm toạ độ của điểm $B^{\prime }$.

Lời giải chi tiết

Giả sử $D\left(x_D;y_D;z_D\right)$. Ta có

$\overrightarrow{AD}=\left(x_D-2;y_D-4;z_D\right)$.

$\overrightarrow{BC}=\left(-1-4;4-0;-7-0\right)=\left(-5;4;-7\right)$.

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

$\iff \{\begin{array}{c}{x}_D-2=-5\\ y_D-4=4\\ z_D=-7\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_D=-3\\ y_D=8\\ z_D=-7\end{array}$. Vậy $D\left(-3;8;-7\right)$.

Giả sử $B^{\prime }\left(x_{B^{\prime }};y_{B^{\prime }};z_{B^{\prime }}\right)$. Ta có

$\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\left(x_{B^{\prime }}-4;y_{B^{\prime }};z_{B^{\prime }}\right)$.

$\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\left(6-\left(-3\right);8-8;10-\left(-7\right)\right)=\left(9;0;17\right)$.

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

$\iff \{\begin{array}{c}{x}_{B^{\prime }}-4=9\\ y_{B^{\prime }}=0\\ z_{B^{\prime }}=17\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_{B^{\prime }}=13\\ y_{B^{\prime }}=0\\ z_{B^{\prime }}=17\end{array}$. Vậy $B^{\prime }\left(13;0;17\right)$.