Giải bài 4 trang 76

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có A(2;4;0),B(4;0;0),C(−1;4;−7)A(2;4;0),B(4;0;0),C(−1;4;−7)A\left( {2;4;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),C\left( { - 1;4; - 7} \right) và D′(6;8;10)D′(6;8;10)D'\left( {6;8;10} \right). Tìm toạ độ của điểm B′B′B'.

Đề bài

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A (2; 4; 0), B (4; 0; 0), C (- 1; 4; - 7)$ và $D^{'} (6; 8; 10)$ . Tìm toạ độ của điểm $B^{'}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng toạ độ của vectơ $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .

‒ Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau: Với $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ , ta có: $\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{1} = x_{2} \\ y_{1} = y_{2} \\ z_{1} = z_{2} \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết

Giả sử $D (x_{D}; y_{D}; z_{D})$ . Ta có

$\vec{A D} = (x_{D} - 2; y_{D} - 4; z_{D})$ .

$\vec{B C} = (- 1 - 4; 4 - 0; - 7 - 0) = (- 5; 4; - 7)$ .

$A B C D$ là hình bình hành nên $\vec{A D} = \vec{B C}$ .

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{D} - 2 = - 5 \\ y_{D} - 4 = 4 \\ z_{D} = - 7 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{D} = - 3 \\ y_{D} = 8 \\ z_{D} = - 7 \end{cases}$ . Vậy $D (- 3; 8; - 7)$ .

Giả sử $B^{'} (x_{B^{'}}; y_{B^{'}}; z_{B^{'}})$ . Ta có

$\vec{B B^{'}} = (x_{B^{'}} - 4; y_{B^{'}}; z_{B^{'}})$ .

$\vec{D D^{'}} = (6 - (- 3); 8 - 8; 10 - (- 7)) = (9; 0; 17)$ .

$A B C D$ là hình bình hành nên $\vec{A D} = \vec{B C}$ .

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{B^{'}} - 4 = 9 \\ y_{B^{'}} = 0 \\ z_{B^{'}} = 17 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{B^{'}} = 13 \\ y_{B^{'}} = 0 \\ z_{B^{'}} = 17 \end{cases}$ . Vậy $B^{'} (13; 0; 17)$ .