Giải bài 4 trang 79

Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh BC thỏa mãn

Đề bài

Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh BC thỏa mãn $Δ A M B = Δ A M C$ (Hình 32). Chứng minh rằng:

a) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

b) Tia AM là tia phân giác của góc BAC và $A M ⊥ B C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng và các góc tương ứng bằng nhau.

a) Muốn chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta chứng minh MB = MC.

b) Muốn chứng minh tia AM là phân giác của góc BAC ta chứng minh góc BAM = góc CAM.

Trong một tam giác, một đường thẳng vừa là trung tuyến vừa là phân giác thì đường thẳng đó vuông góc với đáy tương ứng. Hoặc ta có thể chứng minh góc được tạo bởi hai đường thẳng đó có số đo góc là 90°.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $Δ A M B = Δ A M C$ nên AB = AC, MB = MC nên M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

b) Ta có: $Δ A M B = Δ A M C$ nên $\hat{A M B} = \hat{A M C}, \hat{M A B} = \hat{M A C}, \hat{M B A} = \hat{M C A}$ .

Vậy tia AM là tia phân giác của góc BAC vì $\hat{M A B} = \hat{M A C}$ .

Ta thấy: $\hat{A M B} = \hat{A M C}$ mà ba điểm B, M, C thẳng hàng nên $\hat{B M C} = 180^{\circ}$ .

Suy ra $\hat{A M B} = \hat{A M C} = \frac{1}{2} . \hat{B M C} = \frac{1}{2} {.180}^{\circ} = 90^{\circ}$ . Vậy $A M ⊥ B C$ .