Giải bài 4 trang 80

Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là: x - 2y – 5 = 0. a) Lập phương trình tham số của đường thẳng d. b) Tìm toạ độ điểm M thuộc d sao cho OM = 5 với O là gốc toạ độ. c) Tìm toạ độ điểm N thuộc d sao cho khoảng cách từ N đến trục hoành Ox là 3.

Đề bài

Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là: x - 2y – 5 = 0.

a) Lập phương trình tham số của đường thẳng d.

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc d sao cho OM = 5 với O là gốc toạ độ.

c) Tìm toạ độ điểm N thuộc d sao cho khoảng cách từ N đến trục hoành Ox là 3.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $M_{o} (x_{o}; y_{o})$ và nhận $\vec{u} = (a; b) (\vec{u} \neq 0)$ làm vecto chỉ phương là: ${\begin{cases} x = x_{o} + a t \\ y = y_{o} + b t \end{cases}$ ( $t$ là tham số).

b) Tham số hóa điểm M.

Nếu $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ thì $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ .

c) Tham số hóa điểm N rồi sử dụng giả thiết khoảng cách.

Lời giải chi tiết

a) Từ phương trình tổng quát của đường thẳng, ta lấy được một vecto pháp tuyến là: $\vec{n} = (1; - 2)$ nên ta chọn vecto chỉ phương của đường thẳng d là: $\vec{u} = (2; 1)$ .

Chọn điểm $A (1; - 2) \in d$ . Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: ${\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + t \end{cases}$ (t là tham số).

b) Do điểm M thuộc d nên ta có: $M (1 + 2 m; - 2 + m); m \in R$ .

Ta có: $O M = 5 \Leftrightarrow \sqrt{{(1 + 2 m)}^{2} + {(- 2 + m)}^{2}} = 5$

$\Leftrightarrow m^{2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2$ .

Với $m = 2 \Rightarrow M (5; 0)$ .

Với $m = - 2 \Rightarrow M (- 3; - 4)$ .

Vậy ta có 2 điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài.

c) Do điểm N thuộc d nên ta có: $N (1 + 2 n; - 2 + n)$ .

Khoảng cách từ N đến trục hoành bằng giá trị tuyệt đối của tung độ điểm N. Do đó, khoảng cách tư N đến trục hoành bằng 3 khi và chỉ khi: $| - 2 + n | = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 5 \\ n = - 1 \end{array}$

Với $n = 5 \Rightarrow N (11; 3)$ .

Với $n = - 1 \Rightarrow N (- 1; - 3)$ .

Vậy có 2 điểm N thỏa mãn bài toán.