Giải Bài 4 trang 84

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ $B E ⊥ A N$ (E ∈ AN).

a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của giác ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của BH với CE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta chứng minh $\hat{A B E} = \hat{N B E}$ bằng cách chứng minh 2 tam giác BAF và BNF bằng nhau .

b) Ta chứng minh NK song song với CA do có 2 góc so le trong bằng nhau

c) Ta chứng minh góc BGC bằng góc BCG

Lời giải chi tiết

a) Xét $Δ B A E$ và $Δ B N E$ có :

BA = BN (giả thiết)

BF cạnh chung

$\hat{B E A} = \hat{B E N}$

$\Rightarrow Δ B A E = Δ B N E$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \hat{A B F} = \hat{N B F}$ (góc tương ứng)

$\Rightarrow$ BE là phân giác của góc ABN

b) Vì K là giao của 2 đường cao $\Rightarrow$ K là trực tâm tam giác ABN

$\Rightarrow$ KN vuông góc với AB(1)

Vì CA vuông góc với AB ( tam giác ABC vuông tại A)(2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ KN song song với CA (quan hệ cùng vuông góc với 1 đường)

c) Ta có $Δ B A F = Δ B N F (c - g - c)$ do có :

$\hat{B E A} = \hat{B E N}$

BF cạnh chung

BN = BA

$\Rightarrow \hat{B N F} = \hat{B A F}$ (2 góc tương ứng).

Mà $\hat{B A F} = 90^{\circ}$

$\Rightarrow \hat{B N F} = \hat{B A F} = 90^{o}$

$\Rightarrow G N ⊥ B C$

Ta có CA và GN là 2 đường cao của tam giác GBC

$\Rightarrow$ F là trực tâm của tam giác GBC

$\Rightarrow$ BF vuông góc với GC tại P

Xét $Δ B G P$ và $Δ B C P$ ta có :

BP cạnh chung

$\hat{B P C} = \hat{B P G} = 90^{o}$

$\hat{P B C} = \hat{P B G}$

$\Rightarrow Δ B G P = Δ B C P (c - g - c)$

$\Rightarrow B C = B G$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ Tam giác GBC cân tại B