Giải bài 4 trang 84 vở thực hành Toán 8 tập 2

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết rằng widehatBAC=widehatPMNwidehatBAC=widehatPMNwidehat{BAC}=widehat{PMN}, AB=2MN.

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết rằng $\hat{B A C} = \hat{P M N}$ , AB=2MN. Chứng minh ΔMNP ∽ ΔABC và tìm tỉ số đồng dạng .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tam giác ABC cân tại A, tam giác MNP cân tại M để chứng minh ΔMNP ∽ ΔABC và tìm tỉ số đồng dạng của chúng.

Lời giải chi tiết

Vì ΔABC cân nên $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{\hat{A B C} + \hat{A C B}}{2} = \frac{180^{o} - \hat{B A C}}{2}$ (1).

Tương tự, ΔMNP cân tại M nên $\hat{M N P} = \frac{180^{o} - \hat{P M N}}{2}$ (2).

Vì $\hat{B A C} = \hat{P M N}$ nên từ (1) và (2) ta suy ra $\hat{A B C} = \hat{M N P}$ .

Lấy B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, AC thì ta có B’C’ // BC.

Do đó $\hat{A B C} = \hat{A B^{'} C^{'}}, \hat{A C B} = \hat{A C^{'} B^{'}}$ (các cặp góc đồng vị).

Hai tam giác AB’C’ và MNP có:

$\hat{B A C} = \hat{N M P}$ (theo giả thiết),

$A B^{'} = \frac{A B}{2} = M N$ (theo giả thiết),

$\hat{A B^{'} C^{'}} = \hat{A B C} = \hat{M N P}$ (theo chứng minh trên).

Vậy ΔMNP = ΔAB’C’ (g.c.g). Mặt khác, ΔAB’C’ ∽ ΔABC ( vì B’C’ // BC).

Do đó ΔMNP ∽ ΔABC với tỉ số đồng dạng $k = \frac{A B^{'}}{A B} = \frac{1}{2}$ .