Giải bài 4 trang 87

Cho tam giác

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ ( $A B < A C$ . Gọi $D$ là trung điểm của $B C$ . Vẽ $D E$ // $A B$ , vẽ $D F$ // $A C$ $(E \in A C$ ; $F \in A B)$ . Chứng minh rằng:

a) Tứ giác $A E D F$ là hình chữ nhật

b) Tứ giác $B F E D$ là hình bình hành

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

b) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$Δ A B C$ vuông tại $A$ nên $\hat{B A C} = 90^{\circ}$ và $A B ⊥ A C$

Mà $D E$ // $A B$ ; $D F$ // $A C$

Suy ra $D E ⊥ A C; D F ⊥ A B$

Suy ra $\hat{D E A} = \hat{D F A} = 90^{\circ}$

Tứ giác $A E D F$ có $\hat{B A C} = \hat{D E A} = \hat{D F A} = 90^{\circ}$ nên là hình chữ nhật

b) Vì $A E D F$ là hình chữ nhật (cmt)

Suy ra $A E = D F$ ; $A F = D E$ ; $A F$ // $D E$ ; $A E$ // $D F$

Vì $D E ⊥ A C; D F ⊥ A B$ (cmt)

Suy ra $\hat{D E C} = \hat{B F D} = 90^{\circ}$

Xét $Δ B F D$ và $Δ D E C$ ta có:

$\hat{B F D} = \hat{D E C} = 90^{\circ}$ (cmt)

$B D = D C$ (gt)

$\hat{F B D} = \hat{E D C}$ (do $D E$ // $B F$ )

Suy ra $Δ B F D = Δ D E C$ (ch – gn)

Suy ra $B F = D E$ ; $D F = E C$ (hai cạnh tương tứng)

Xét tứ giác $B F E D$ ta có:

$B F$ // $D E$ (do $A B$ // $D E$ )

$B F = D E$ (cmt)

Suy ra $B F E D$ là hình bình hành