Giải bài 4 trang 88 vở thực hành Toán 9 tập 2

Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm I nằm trong (O) như hình bên. a) Biết rằng (widehat {AOC} = {60^o},widehat {BOD} = {80^o}). Tính số đo của góc AID. b) Chứng minh rằng (IA.IB = IC.ID).

Đề bài

Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm I nằm trong (O) như hình bên.

a) Biết rằng $\hat{A O C} = 60^{o}, \hat{B O D} = 80^{o}$ . Tính số đo của góc AID.

b) Chứng minh rằng $I A . I B = I C . I D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) - Góc nội tiếp ADC và góc ở tâm AOC cùng chắn cung nhỏ AC nên $\hat{A D C} = \frac{\hat{A O C}}{2}$ .

- Góc nội tiếp BAD và góc ở tâm BOD cùng chắn cung nhỏ DB nên $\hat{B A D} = \frac{\hat{B O D}}{2}$ .

Do tổng ba góc trong tam giác AID bằng $180^{o}$ nên: $\hat{A I D} = 180^{o} - \hat{I A D} - \hat{I D A} = 180^{o} - \hat{A D C} - \hat{B A D}$ .

b) Chứng minh $Δ I A C ∽ Δ I D B (g . g)$ , suy ra $\frac{I A}{I D} = \frac{I C}{I B}$ , hay $I A . I B = I C . I D$ .

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn (O), ta có:

- Góc nội tiếp ADC và góc ở tâm AOC cùng chắn cung AC nên $\hat{A D C} = \frac{\hat{A O C}}{2} = 30^{o}$ .

- Góc nội tiếp BAD và góc ở tâm BOD cùng chắn cung DB nên $\hat{B A D} = \frac{\hat{B O D}}{2} = 40^{o}$ .

Do tổng ba góc trong tam giác AID bằng $180^{o}$ nên:

$\hat{A I D} = 180^{o} - \hat{I A D} - \hat{I D A} = 180^{o} - \hat{A D C} - \hat{B A D} = 110^{o}$

b) Hai tam giác IAC và tam giác IDB có: $\hat{A I C} = \hat{D I B}$ (hai góc đối đỉnh), $\hat{C A I} = \hat{C A B} = \hat{C D B} = \hat{I D B}$ (vì $\hat{C A B}$ và $\hat{C D B}$ là hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung nhỏ $\overset{⌢}{C B}$ )

Suy ra $Δ I A C ∽ Δ I D B (g . g)$ . Do đó, $\frac{I A}{I D} = \frac{I C}{I B}$ , hay $I A . I B = I C . I D$ .