Giải bài 4 trang 9

Tìm hàm số (fleft( x right)), biết rằng: a) (f'left( x right) = 2{{rm{x}}^3} - 4{rm{x}} + 1,fleft( 1 right) = 0); b) (f'left( x right) = 5cos x - sin x,fleft( {frac{pi }{2}} right) = 1).

Đề bài

Tìm hàm số $f (x)$ , biết rằng:

a) $f^{'} (x) = 2 x^{3} - 4 x + 1, f (1) = 0$ .

b) $f^{'} (x) = 5 \cos x - \sin x, f (\frac{π}{2}) = 1$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng biến đổi lượng giác.

‒ Sử dụng công thức:

• $\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ .

• $\int \sin x d x = - \cos x + C$ .

• $\int \cos x d x = \sin x + C$ .

Lời giải chi tiết

a) $f (x) = \int f^{'} (x) d x = \int (2 x^{3} - 4 x + 1) d x = \frac{x^{4}}{2} - 2 x^{2} + x + C$

$f (1) = 0 \Leftrightarrow \frac{1^{4}}{2} - {2.1}^{2} + 1 + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}$

Vậy $f (x) = \frac{x^{4}}{2} - 2 x^{2} + x + \frac{1}{2}$ .

b) $f (x) = \int f^{'} (x) d x = \int (5 \cos x - \sin x) d x = 5 \sin x + \cos x + C$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 \Leftrightarrow 5 \sin \frac{π}{2} + \cos \frac{π}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = - 4$

Vậy $f (x) = 5 \sin x + \cos x - 4$ .