Giải bài 4 trang 96

Bảng sau thống kê lương tháng của các nhân viên ở hai doanh nghiệp A và B. a) Hãy so sánh độ phân tán của mức lương ở hai doanh nghiệp theo khoảng biến thiên. b) Hãy so sánh độ phân tán của mức lương ở hai doanh nghiệp theo khoảng tử phân vị. c) Biết rằng có 1 nhân viên ở doanh nghiệp A có lương thá

Đề bài

Bảng sau thống kê lương tháng của các nhân viên ở hai doanh nghiệp A và B.

a) Hãy so sánh độ phân tán của mức lương ở hai doanh nghiệp theo khoảng biến thiên.

b) Hãy so sánh độ phân tán của mức lương ở hai doanh nghiệp theo khoảng tử phân vị.

c) Biết rằng có 1 nhân viên ở doanh nghiệp A có lương tháng là 27 triệu đồng. Lương tháng của nhân viên này có phải là một giá trị ngoại lệ không? Tại sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $R = a_{m + 1} - a_{1}$ .

‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Tứ phân vị thứ $k$ được xác định như sau: $Q_{k} = u_{m} + \frac{\frac{k n}{4} - C}{n_{m}} (u_{m + 1} - u_{m})$

trong đó:

• $n = n_{1} + n_{2} + . . . + n_{k}$ là cỡ mẫu;

• $[u_{m}; u_{m + 1})$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ $k$ ;

• $n_{m}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ $k$ ;

• $C = n_{1} + n_{2} + . . . + n_{m - 1}$ .

‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: $Δ Q = Q_{3} - Q_{1}$ .

‒ Nếu $Q_{3} + 1, 5 Δ Q < a$ thì giá trị $a$ là giá trị ngoại lệ.

Lời giải chi tiết

a) Khoảng biến thiên của mức lương ở doanh nghiệp A là: $R_{A} = 30 - 5 = 25$ (triệu đồng).

Khoảng biến thiên của mức lương ở doanh nghiệp B là: $R_{B} = 25 - 10 = 15$ (triệu đồng).

Do đó, nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì mức lương ở doanh nghiệp A phân tán hơn mức lương ở doanh nghiệp B.

b) • Độ phân tán của mức lương ở doanh nghiệp A:

$n_{A} = 2 + 5 + 32 + 8 + 1 = 48$

Gọi $x_{1}; x_{2}; . . .; x_{48}$ là mẫu số liệu gốc gồm mức lương của 48 nhân viên ở doanh nghiệp A theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2} (x_{12} + x_{13}) \in [15; 20)$ . Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{A 1} = 15 + \frac{\frac{1.48}{4} - (2 + 5)}{32} (20 - 15) = \frac{505}{32}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2} (x_{36} + x_{37}) \in [15; 20)$ . Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{A 3} = 15 + \frac{\frac{3.48}{4} - (2 + 5)}{32} (20 - 15) = \frac{625}{32}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Δ Q_{A} = Q_{A 3} - Q_{A 1} = \frac{625}{32} - \frac{505}{32} = \frac{15}{4} = 3, 75$ (triệu đồng).

• Độ phân tán của mức lương ở doanh nghiệp B:

$n_{B} = 20 + 25 + 20 = 65$

Gọi $x_{1}; x_{2}; . . .; x_{65}$ là mẫu số liệu gốc gồm mức lương của 65 nhân viên ở doanh nghiệp B theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{17} \in [10; 15)$ . Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{B 1} = 10 + \frac{\frac{1.65}{4} - 0}{20} (15 - 10) = \frac{225}{16}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{49} \in [20; 25)$ . Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{B 3} = 20 + \frac{\frac{3.65}{4} - (20 + 25)}{20} (25 - 20) = \frac{335}{16}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Δ Q_{B} = Q_{B 3} - Q_{B 1} = \frac{335}{16} - \frac{225}{16} = \frac{55}{8} = 6, 875$ (triệu đồng).

Do đó, nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì mức lương ở doanh nghiệp B phân tán hơn mức lương ở doanh nghiệp A.

c) Với số liệu ghép nhóm của doanh nghiệp A, ta có

$Q_{A 3} + 1, 5 Δ Q_{A} = \frac{625}{32} + 1, 5. \frac{15}{4} = \frac{805}{32} = 25, 15625 < 27$ .

Do đó lương tháng 27 triệu đồng của nhân viên đó là giá trị ngoại lệ.