Giải bài 4 trang 96

Trong Hình 76, cho biết các tam giác ABD và BCE là tam giác đều và A, B, C thẳng hàng. Chứng minh rằng:

Đề bài

Trong Hình 76, cho biết các tam giác ABD và BCE là tam giác đều và A, B, C thẳng hàng. Chứng minh rằng:

a) AD // BE và BD // CE;

b) $\hat{A B E} = \hat{D B C} = 120^{\circ}$ ;

c) AE = CD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta chứng minh AD // BE và BD // CE dựa vào các cặp góc bằng nhau ở vị trí đồng vị.

b) Chứng minh $\hat{A B E} = \hat{D B C} = 120^{\circ}$ dựa vào số đo góc của ba điểm thẳng hàng là 180°.

c) Chứng minh AE = CD bằng cách chứng minh tam giác ABE bằng tam giác DBC

Lời giải chi tiết

Tam giác ABD và BCE là tam giác đều nên $\hat{E B C} = \hat{D A B} = 60^{\circ}$

Vì A, B, C thẳng hàng nên $\hat{D A B} = \hat{D A C}$ suy ra $\hat{E B C} = \hat{D A B}$ .

Mà góc EBC và góc DAC ở vị trí đồng vị nên AD // BE.

Tam giác ABD và BCE là tam giác đều nên $\hat{D B A} = \hat{E C B} = 60^{\circ}$

Vì A, B, C thẳng hàng nên $\hat{E C B} = \hat{E C A}$ suy ra $\hat{D B A} = \hat{E C B}$ .

Mà góc DBA và góc ECA ở vị trí đồng vị nên BD // CE.

b) Ta có A, B, C thẳng hàng nên góc ABC bằng 180°. Mà $\hat{D B A} = \hat{E B C} = 60^{\circ} \Rightarrow \hat{D B E} = 60^{\circ}$ .

Vậy $\hat{A B E} = \hat{D B C} = 120^{\circ}$ ( $\hat{A B E} = \hat{D B A} + \hat{D B E}; \hat{D B C} = \hat{D B E} + \hat{E B C}$ ).

c) Tam giác ABD và BCE là tam giác đều

$\Rightarrow A B = A D, B E = B C$

Xét hai tam giác ABE và DBC có:

AB = DB;

$\hat{A B E} = \hat{D B C} = 120^{\circ}$ ;

BE = BC.

$\Rightarrow Δ A B E = Δ D B C$ (c.g.c)

Do đó, AE = DC ( 2 cạnh tương ứng).

$\hat{A B E} = \hat{D B C} = 120^{\circ}$