Giải bài 40 trang 121

Đề bài

Cho tam giác ABE vuông cân tại A với AB = AE = 2a. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB và đường tròn tâm O’ đường kính AE. Gọi M là giao điểm khác A của hai đường tròn (O), (O’) (Hình 44). Tính theo a:

a) Độ dài cung AmM và cung AnM tương ứng của đường tròn (O) và (O’);

b) Diện tích của phần tô màu xám theo a.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $O^{\prime }A=O^{\prime }E=O^{\prime }M=\frac{AE}{2}$ (cùng bằng bán kính (O’)) và $OA=OB=OM=\frac{AB}{2}$ (cùng bằng bán kính (O))

Mà AB = AE = 2a nên $O^{\prime }A=O^{\prime }E=O^{\prime }M=OA=OB=OM=a$

Xét tứ giác AOMO’ có $O^{\prime }A=O^{\prime }M=OA=OM$ và$\widehat{O^{\prime }AO}={90}^{\circ }$ nên AOMO’ là hình vuông. Suy ra $\widehat{A{O}^{\prime }M}=\widehat{AOM}={90}^{\circ }$.

Mà $\widehat{A{O}^{\prime }M}$ là góc ở tâm chắn cung AnB của (O’) và $\widehat{AOM}$ là góc ở tâm chắn cung AmB của (O) nên sđ $\stackrel{⌢}{AnB}$= sđ $\stackrel{⌢}{AmB}$ $={90}^{\circ }$. Hơn nữa 2 đường tròn (O) và (O’) có cùng bán kính là a , do đó độ dài cung AmM và cung AnM tương ứng của đường tròn (O) và (O’) là

$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi .a.90}{180}=\frac{\pi a}{2}$

b) Diện tích quạt tròn của (O’;R), cung AnM có số đo ${90}^{\circ }$ là:

$S_1=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi .a^2.90}{360}=\frac{\pi .a^2}{4}$

Diện tích tam giác O’AM là

$S_2=\frac{1}{2}{O}^{\prime }A.O^{\prime }M=\frac{1}{2}.a.a=\frac{a^2}{2}$.

Diện tích phần tô đậm được giới hạn bởi cung AnM và dây AM là:

$S^{\prime }=S_1-S_2=\frac{\pi a^2}{4}-\frac{a^2}{2}=\frac{\left(\pi -2\right)a^2}{4}$

Diện tích quạt tròn của (O;R), cung AmM có số đo ${90}^{\circ }$ là:

${S_1}^{\prime }=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi .a^2.90}{360}=\frac{\pi .a^2}{4}$

Diện tích tam giác OAM là

${S_2}^{\prime }=\frac{1}{2}OA.OM=\frac{1}{2}.a.a=\frac{a^2}{2}$.

Diện tích phần tô đậm được giới hạn bởi cung AmM và dây AM là:

$S={S_1}^{\prime }-{S_2}^{\prime }=\frac{\pi a^2}{4}-\frac{a^2}{2}=\frac{\left(\pi -2\right)a^2}{4}$

Diện tích phần tô đậm cần tìm là:

$S^{\prime }+S=\frac{\left(\pi -2\right)a^2}{4}+\frac{\left(\pi -2\right)a^2}{4}=\frac{\left(\pi -2\right)a^2}{2}$