Giải bài 40 trang 67

Đề bài

Cho biểu thức $P = \frac{2}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} - \frac{5 - \sqrt{x}}{x - 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$ .

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của P tại $x = 1$ .

c) Tìm giá trị của $x$ để P nguyên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Quy đồng các phân thức.

b) Thay $x = 1$ và biểu thức P đã rút gọn.

c) Chặn 2 đầu của P:

Với $x \neq 1, x \geq 0$ ta có $\sqrt{x} + 1 \geq 1$ nên $\frac{5}{\sqrt{x} + 1} \geq 0$ và $\frac{5}{\sqrt{x} + 1} \leq 5$ . Do đó $0 < P \leq 5$ .

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định: $x \neq 1, x \geq 0$

$\begin{array}{l} P = \frac{2}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} - \frac{5 - \sqrt{x}}{x - 1} \\ = \frac{2 (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} + \frac{2 (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} - \frac{5 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} \\ = \frac{2 (\sqrt{x} + 1) + 2 (\sqrt{x} - 1) - (5 - \sqrt{x})}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{2 \sqrt{x} + 2 + 2 \sqrt{x} - 2 - 5 + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{5 \sqrt{x} - 5}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{5 (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{5}{\sqrt{x} + 1} \end{array}$

b) Thay $x = 1$ (TMĐK) vào P, ta được $P = \frac{5}{\sqrt{x} + 1} = \frac{5}{\sqrt{1} + 1} = \frac{5}{2}$

Vậy $P = \frac{5}{2}$ khi $x = 1$ .

c) Với $x \neq 1, x \geq 0$ ta có $\sqrt{x} + 1 \geq 1$ nên $\frac{5}{\sqrt{x} + 1} \geq 0$ và $\frac{5}{\sqrt{x} + 1} \leq 5$ . Do đó $0 < P \leq 5$ .

Vậy để P nguyên thì $P \in {1; 2; 3; 4; 5}$ .

Ta có bảng sau:

Vậy $x \in {16; \frac{9}{4}; \frac{4}{9}; \frac{1}{16}; 0}$ là các giá trị cần tìm.