Giải bài 40 trang 92

Cho tam giác ABC thỏa mãn ∣∣∣−−→AB+−−→AC∣∣∣=∣∣∣−−→AB−−−→AC∣∣∣|AB→+AC→|=|AB→−AC→|\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| (*). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Đề bài

Cho tam giác ABC thỏa mãn $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A B} - \vec{A C} |$ (*). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Dựng hình bình hành ABDC

Bước 2: Sử dụng quy tắc trừ hai vectơ và quy tắc hình bình hành để biến đổi giả thiết (*)

Bước 3: Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật để chứng minh tam giác ABC vuông tại A

Lời giải chi tiết

Dựng hình bình hành ABDC. Khi đó $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$

Ta có: $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A B} - \vec{A C} | \Leftrightarrow | \vec{A D} | = | \vec{C B} | \Leftrightarrow A D = B C$

$\Rightarrow$ Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật

$\Rightarrow \hat{B A C} = 90^{0}$ . Vậy tam giác ABC vuông tại A (ĐPCM)