Giải bài 41 trang 121

Cho hai đường tròn (O; R) và (O; 2R). Một dây cung AB của đường tròn (O; 2R) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại M. Kẻ tiếp tuyến thứ hai AN của đường tròn (O; R). Gọi S1 là diện tích của hình tạo bởi cung ACB và dây AB của đường tròn (O; 2R), S2 là diện tích của hình tạo bởi hai tiếp tuyến AM, AN và

Đề bài

Cho hai đường tròn (O; R) và (O; 2R). Một dây cung AB của đường tròn (O; 2R) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại M. Kẻ tiếp tuyến thứ hai AN của đường tròn (O; R). Gọi S₁ là diện tích của hình tạo bởi cung ACB và dây AB của đường tròn (O; 2R), S₂ là diện tích của hình tạo bởi hai tiếp tuyến AM, AN và cung nhỏ MN của đường tròn (O; R) và S₃ là diện tích của hình tròn (O; R) (Hình 45). Chứng minh S₁+ S₂= S_3.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tính AM và góc AOM.

Bước 2: Tính AB và góc AOB (dựa vào $Δ O A M = Δ O B M$ ).

Bước 3: Tính góc MON.

Bước 4: Tính S₁ = diện tích quạt tròn AOB – diện tích tam giác OAB.

Bước 5: Tính S₂ = diện tích tam giác OAM + diện tích tam giác $Δ O A N$ - diện tích quạt tròn OMN.

Bước 5: Tính S₁+ S₂ rồi so sánh với S₃.

Lời giải chi tiết

Vì AB tiếp xúc với (O;R) tại M nên AB là tiếp tuyến của (O;R), do đó $O C ⊥ A B$ tại M hay $\hat{A M O} = \hat{B M O} = 90^{\circ}$ .

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AMO vuông tại M có $A M = \sqrt{A O^{2} - M O^{2}} = \sqrt{{(2 R)}^{2} - R^{2}} = R \sqrt{3}$

Ta lại có $\cos \hat{A O M} = \frac{O M}{O A} = \frac{R}{2 R} = \frac{1}{2}$ suy ra $\hat{A O M} = 60^{\circ}$ .

Xét tam giác OAM và tam giác OBM có:

$O A = O B (= 2 R)$ ;

OM chung;

$\hat{A M O} = \hat{B M O} = 90^{\circ}$

Suy ra $Δ O A M = Δ O B M$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó $A M = B M = \frac{A B}{2}$ và $\hat{A O M} = \hat{B O M} = \frac{\hat{A O B}}{2}$

Suy ra $A B = 2 A M = 2 R \sqrt{3}$ và $\hat{A O B} = 2 \hat{A O M} = {2.60}^{\circ} = 120^{\circ}$ .

Do AM, AN là 2 tiếp tuyến của (O;R) nên $\hat{A O M} = \hat{A O N} = \frac{\hat{M O N}}{2}$ hay $\hat{M O N} = 2 \hat{A O M} = {2.60}^{\circ} = 120^{\circ}$ .

Xét tam giác OMA và tam giác ONA có:

OA chung;

$O M = O N (= R)$ ;

$A M = A N$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra $Δ O A M = Δ O A N$ (c.c.c), nên $S_{Δ O A M} = S_{Δ O A N}$

Ta có: S₁ = diện tích quạt tròn AOB – diện tích $Δ O A B$

Hay $S_{1} = \frac{π {(2 R)}^{2} n}{360} - \frac{O M . A B}{2}$ $= \frac{π 4 R^{2} .120}{360} - \frac{R .2 R \sqrt{3}}{2}$ $= R^{2} (\frac{4 π}{3} - \sqrt{3})$

S₂ = diện tích $Δ O A M$ + diện tích tam giác $Δ O A N$ - diện tích quạt tròn OMN

Hay S₂ = 2. diện tích $Δ O A M$ - diện tích quạt tròn OMN

Do đó $S_{2} = 2. \frac{A M . O M}{2} - \frac{π R^{2} . n}{360}$ $= 2. \frac{R \sqrt{3} . R}{2} - \frac{π R^{2} {.120}^{\circ}}{360}$ $= R^{2} (\sqrt{3} - \frac{π}{3})$

S₃ = diện tích hình tròn (O;R) $= π R^{2}$

Ta có $S_{1} + S_{2} = R^{2} (\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}) + R^{2} (\sqrt{3} - \frac{π}{3}) = π R^{2} = S_{3}$ (đpcm)