Giải bài 41 trang 19

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của mỗi hàm số sau:

a) $y=-\frac{x^3}{3}-x^2+3x+1$ trên khoảng $\left(0;3\right)$;

b) $y=x^4-8x^2+10$ trên khoảng $\left(-\sqrt{7};\sqrt{7}\right)$;

c) $y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$;

d) $y=x+\frac{4}{x-1}$ trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y=-\frac{x^3}{3}-x^2+3x+1$ trên khoảng $\left(0;3\right)$.

Ta có: $y^{\prime }=-x^2-2x+3$

Khi đó, trên khoảng $\left(0;3\right)$, $y^{\prime }=0$ khi $x=1$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\underset{\left(0;3\right)}{max}f\left(x\right)=\frac{8}{3}$ tại $x=1$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left(0;3\right)$.

b) Xét hàm số $y=x^4-8x^2+10$ trên khoảng $\left(-\sqrt{7};\sqrt{7}\right)$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-16x$

Khi đó, trên khoảng $\left(-\sqrt{7};\sqrt{7}\right)$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0,x=-2,x=2$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\underset{\left(-\sqrt{7};\sqrt{7}\right)}{max}f\left(x\right)=10$ tại $x=0$, $\underset{\left(-\sqrt{7};\sqrt{7}\right)}{min}f\left(x\right)=-6$ tại $x=\pm 2$.

c) Xét hàm số $y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(x^2-1\right)}^{\prime }\left(x^2+1\right)-\left(x^2-1\right){\left(x^2+1\right)}^{\prime }}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2x.\left(x^2+1\right)-\left(x^2-1\right).2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{4x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$

Khi đó, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\underset{R}{min}f\left(x\right)=-1$ tại $x=0$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng $\left(0;3\right)$.

d) Xét hàm số $y=x+\frac{4}{x-1}$ trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$.

Ta có: $y^{\prime }=1-\frac{4}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{{\left(x-1\right)}^2}$

Khi đó, trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$, $y^{\prime }=0$ khi $x=-1$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $\underset{\left(-\infty ;1\right)}{max}f\left(x\right)=-3$ tại $x=-1$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$.