Giải bài 41 trang 75

Đề bài

Hình thang $ABCD$ ở Hình 39 có $AB//CD,AB<CD,\widehat{ABD}={90}^{\circ }$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $G$. Điểm $E$ nằm trên đường vuông góc với $AC$ tại $C$ thỏa mãn $CE=AG$ và đoạn thẳng $GE$ không cắt đường thẳng $CD$. Điểm $F$ nằm trên đoạn thẳng $DC$ và $DF=GB$. Chứng minh:

a)      $\Delta FGD\backsim \Delta ECG$;

b)     $\Delta GDC\backsim \Delta GFE$;

c)      $\widehat{GFE}={90}^{\circ }$.

Lời giải chi tiết

a)      Do $AB//CD$ nên $\frac{BG}{AG}=\frac{GD}{GC}$.

Mặt khác $AG=CE,BG=DF$ nên $\frac{DF}{CE}=\frac{GD}{GC}$.

Mà $\widehat{GDF}=\widehat{GCE}$ nên $\Delta FDG\backsim \Delta ECG$.

b)     Vì $\Delta FDG\backsim \Delta ECG$ nên $\widehat{DGF}=\widehat{CGE}$ và $\frac{DG}{GF}=\frac{GC}{GE}$.

$\widehat{DGF}=\widehat{CGE}=>\widehat{DGF}+\widehat{FGC}=+\widehat{FGC}$.

Hay $\widehat{DGC}=\widehat{FGE}$.

Từ đó, ta có $\Delta GDC\backsim \Delta GFE$ vì $\frac{DG}{GF}=\frac{GC}{GE}$ và $\widehat{DGC}=\widehat{FGE}$.

c)      Vì $\Delta GDC\backsim \Delta GFE$ nên $\widehat{GFE}=\widehat{GDC}={90}^{\circ }$.