Giải bài 41 trang 77

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Tính:

a) $\overrightarrow{A^{\prime }B}.\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$;

b) $\overrightarrow{D^{\prime }A}.\overrightarrow{B{A}^{\prime }}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp \left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\Rightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A^{\prime }B$.

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right)={90}^{\circ }\Rightarrow \overrightarrow{A^{\prime }B}.\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=0$

b) Ta có:

$\overrightarrow{D^{\prime }A}.\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{D^{\prime }A}.\overrightarrow{A^{\prime }B}=-\left|\overrightarrow{D^{\prime }A}\right|.\left|\overrightarrow{A^{\prime }B}\right|.\cos \left(\overrightarrow{D^{\prime }A},\overrightarrow{A^{\prime }B}\right)=-A{D}^{\prime }.A^{\prime }B.\cos \left(\overrightarrow{D^{\prime }A},\overrightarrow{A^{\prime }B}\right)$

$\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{D^{\prime }C}\Rightarrow \left(\overrightarrow{D^{\prime }A},\overrightarrow{A^{\prime }B}\right)=\left(\overrightarrow{D^{\prime }A},\overrightarrow{D^{\prime }C}\right)=\widehat{A{D}^{\prime }C}$.

Xét tam giác $AC{D}^{\prime }$ có $AC,A{D}^{\prime },C{D}^{\prime }$ đều là các đường chéo của các hình vuông là các mặt của hình lập phương.

Do đó $AC=A{D}^{\prime }=C{D}^{\prime }$. Vậy tam giác $AC{D}^{\prime }$ đều.

Suy ra $\left(\overrightarrow{D^{\prime }A},\overrightarrow{A^{\prime }B}\right)=\widehat{A{D}^{\prime }C}={60}^{\circ }$.

$\overrightarrow{D^{\prime }A}.\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=-a.a.\cos {60}^{\circ }=-\frac{a^2}{2}$.