Giải bài 41 trang 77

Đề bài

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng $a$ . Tính:

a) $\vec{A^{'} B} . \vec{B^{'} C^{'}}$ ;

b) $\vec{D^{'} A} . \vec{B A^{'}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $B^{'} C^{'} ⊥ (A B B^{'} A^{'}) \Rightarrow B^{'} C^{'} ⊥ A^{'} B$ .

$\Rightarrow (\vec{A^{'} B}, \vec{B^{'} C^{'}}) = 90^{\circ} \Rightarrow \vec{A^{'} B} . \vec{B^{'} C^{'}} = 0$

b) Ta có:

$\vec{D^{'} A} . \vec{B A^{'}} = - \vec{D^{'} A} . \vec{A^{'} B} = - | \vec{D^{'} A} | . | \vec{A^{'} B} | . \cos (\vec{D^{'} A}, \vec{A^{'} B}) = - A D^{'} . A^{'} B . \cos (\vec{D^{'} A}, \vec{A^{'} B})$

$\vec{A^{'} B} = \vec{D^{'} C} \Rightarrow (\vec{D^{'} A}, \vec{A^{'} B}) = (\vec{D^{'} A}, \vec{D^{'} C}) = \hat{A D^{'} C}$ .

Xét tam giác $A C D^{'}$ có $A C, A D^{'}, C D^{'}$ đều là các đường chéo của các hình vuông là các mặt của hình lập phương.

Do đó $A C = A D^{'} = C D^{'}$ . Vậy tam giác $A C D^{'}$ đều.

Suy ra $(\vec{D^{'} A}, \vec{A^{'} B}) = \hat{A D^{'} C} = 60^{\circ}$ .

$\vec{D^{'} A} . \vec{B A^{'}} = - a . a . \cos 60^{\circ} = - \frac{a^{2}}{2}$ .