Giải bài 42 trang 104

Đề bài

Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB//CD,\hat{D}={45}^{\circ }$. Kẻ $AH$ vuông góc với $CD$ tại $H$. Lấy điểm $E$ thuộc cạnh $CD$ sao cho $HE=DH$.

a) Chứng minh tứ giác $ABCE$ là hình bình hành.

b) Đường thẳng qua $D$ song song với $AE$ cắt $AH$ tại $F$. Tứ giác $ADFE$ là hình gì? Vì sao?

c) Tìm điều kiện của hình thang cân $ABCD$ để $E$ là trung điểm của $BF$ (bỏ qua giả thiết $\hat{D}={45}^{\circ }$).

Lời giải chi tiết

a)     $\Delta ADH=\Delta AEH$ (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông), suy ra $AD=AE$ (hai cạnh tương ứng) nên $\Delta ADE$ cân tại A.

Do đó $\widehat{ADE}=\widehat{AED}={45}^0$

Mà $ABCD$ là hình thang cân nên $\widehat{ADE}=\hat{C}$

Do đó $\hat{C}=\widehat{AED}={45}^0$. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra AE // BC

Xét tứ giác $ABCE$, ta có:

$AE//BC$

Vì $AD=AE$ mà $AD=BC$ nên $AE=BC$

Vậy tứ giác $ABCE$ là hình bình hành.

b)    Xét tam giác $AHE$ và $FHD$, ta có:

$\widehat{AEH}=\widehat{FDH}$ (so le trong); $\widehat{AHE}=\widehat{FHD}={90}^{\circ }$; $DH=HE$

Suy ra $\Delta AHE=\Delta DHD$ (g.c.g)

Suy ra $AH=HF$

Xét tứ giác $ADEF$, ta có:

$HD=HE;HA=HF$

Mà $AF\perp DE$

Suy ra tứ giác $ADEF$ là hình thoi.

c)     Để $E$ là trung điểm của $BF$ thì $BE=FE$ và ba điểm $B,E,F$ thẳng hàng.

Khi bỏ qua giả thiết $\widehat{ADC}={45}^{\circ }$ thì ta chứng minh được tứ giác $ADEF$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $ADEF$ là hình bình hành.

Do $ABCE$ và $ADEF$ đều là hình bình hành nên $AE=BC,AE//BC$ và $AE=DF.AE//DF$

Suy ra $BC=DF$ và $BC//DF$

Tứ giác $BCFD$ có $BC=DF$ và $BC//DF$ nên $BCFD$ là hình bình hành.

Mà $E$ là trung điểm của $BF$, suy ra $E$ là trung điểm của $CD$ hay $EC=ED=\frac{1}{2}CD$.

Mặt khác, $AB=EC$ (vì $ABCE$ là hình bình hành), suy ra $AB=\frac{1}{2}CD$

Dễ thấy nếu hình thang cân $ABCD\left(AB//CD\right)$ có $AB=\frac{1}{2}CD$ thì $E$ là trung điểm của $BF$.

Vậy điều kiện của hình thang cân $ABCD\left(AB//CD\right)$ để $E$ là trung điểm của $BF$ là $AB=\frac{1}{2}CD$.