Giải bài 42 trang 121

Đề bài

Hai ròng rọc có dạng hình tròn (O; 4a) và (O’; a) với hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A sao cho $\hat{M A P} = 60^{\circ}$ (Hình 46). Tìm độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc theo a.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Độ dài dây curoa = độ dài cung lớn MP + độ dài cung nhỏ NQ + MN + PQ

Bước 1: Áp dụng lý thuyết về tổng 4 góc trong tứ giác để tính số đo góc MOP và góc NO’Q, từ đó suy ra số đo cung lớn MP và cung nhỏ NQ.

Bước 2: Áp dụng công thức $l = \frac{π R n}{180}$ để tính độ dài 2 cung trên.

Bước 3: Chứng minh $M N = P Q$ , tính $M N = A M - A N = O M . \cot \hat{O A M} - O^{'} N . \cot \hat{O A M}$ .

Lời giải chi tiết

Do AM, AP là tiếp tuyến của (O) nên $M A = P A$ và $O M ⊥ M A, O P ⊥ P A$ , do đó $\hat{M} = \hat{P} = 90^{\circ}$ và AO là tia phân giác của góc MAP nên $\hat{M A O} = \hat{P A O} = \frac{\hat{M A P}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$

Do AN, AQ là tiếp tuyến của (O’) nên $N A = Q A$ và $O^{'} N ⊥ N A, O^{'} Q ⊥ Q A$ , do đó $\hat{O^{'} N A} = \hat{O^{'} Q A} = 90^{\circ}$ và AO’ là tia phân giác của góc NAQ nên $\hat{N A O^{'}} = \hat{Q A O^{'}} = \frac{\hat{N A Q}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$

Xét tứ giác OMAP có $\hat{M O P} + \hat{M} + \hat{M A P} + \hat{P} = 360^{\circ}$ nên $\hat{M O P} = 360^{\circ} - (\hat{M} + \hat{M A P} + \hat{P})$ $= 360^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ} + 90^{\circ}) = 120^{\circ}$ , suy ra số đo cung nhỏ MP là 120⁰

Số đo cung lớn MP là $360^{\circ} - 120^{\circ} = 240^{\circ}$ và có độ dài là $l_{1} = \frac{π .4 a .240}{180} = \frac{16 π a}{3}$

Xét tứ giác O’NAQ có $\hat{N O^{'} Q} + \hat{O^{'} N A} + \hat{O^{'} Q A} + \hat{N A Q} = 360^{\circ}$ nên $\hat{N O^{'} Q} = 360^{\circ} - (\hat{O^{'} N A} + \hat{O^{'} Q A} + \hat{N A Q})$ $= 360^{\circ} - (90^{\circ} + 90^{\circ} + 60^{\circ}) = 120^{\circ}$ , suy ra số đo cung nhỏ NQ là 120⁰ và có độ dài là $l_{2} = \frac{π . a .120}{180} = \frac{2 π a}{3}$

Ta có: $M N = M A - N A; P Q = P A - Q A$ , mà $M A = P A; N A = Q A$ suy ra $M N = P Q$ .

Xét tam giác OAM vuông tại M có:

$M A = O M . \cot \hat{O A M} = a . \cot 30^{\circ} = 4 a \sqrt{3}$ .

Xét tam giác O’AN vuông tại N có:

$N A = O N . \cot O^{'} A N = a . \cot 30^{\circ} = a \sqrt{3}$ .

Ta có: $M N = P Q = M A - N A = 4 a \sqrt{3} - a \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} a$

Độ dài dây Curoa mắc qua 2 ròng rọc là:

$\frac{16 π a}{3} + \frac{2 π a}{3} + 3 \sqrt{3} a + 3 \sqrt{3} a = 6 a (π + \sqrt{3})$ .