Giải bài 42 trang 19

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $y=2x^3+3x^2-12x+1$ trên đoạn $\left[-1;5\right]$;

b) $y={\left(x-\sqrt{2}\right)}^2.{\left(x+\sqrt{2}\right)}^2$ trên đoạn $\left[-\frac{1}{2};2\right]$;

c) $y=x^5-5x^4+5x^3+1$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$;

d) $y=x+\frac{4}{x}$ trên đoạn $\left[3;4\right]$;

e) $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$;

g) $y=x\sqrt{16-x^2}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y^{\prime }=6x^2+6x-12$

Khi đó, trên đoạn $\left[-1;5\right]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=1$.

$y\left(-1\right)=14;y\left(1\right)=-6;y\left(5\right)=266$.

Vậy $\underset{\left[-1;5\right]}{max}y=266$ tại $x=5$, $\underset{\left[-1;5\right]}{min}y=-6$ tại $x=1$.

b) $y={\left(x-\sqrt{2}\right)}^2.{\left(x+\sqrt{2}\right)}^2={\left[\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\right]}^2={\left(x^2-2\right)}^2=x^4-4x^2+4$

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-8x$

Khi đó, trên đoạn $\left[-\frac{1}{2};2\right]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0,x=\sqrt{2}$.

$y\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{49}{16};y\left(0\right)=4;y\left(\sqrt{2}\right)=0;y\left(2\right)=4$.

Vậy $\underset{\left[-\frac{1}{2};2\right]}{max}y=4$ tại $x=0,x=4$, $\underset{\left[-\frac{1}{2};2\right]}{min}y=0$ tại $x=\sqrt{2}$.

c) Ta có: $y^{\prime }=5x^4-20x^3+15x^2$

Khi đó, trên đoạn $\left[-1;2\right]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0,x=1$.

$y\left(-1\right)=-10;y\left(0\right)=1;y\left(1\right)=2;y\left(2\right)=-7$.

Vậy $\underset{\left[-1;2\right]}{max}y=2$ tại $x=1$, $\underset{\left[-1;2\right]}{min}y=-10$ tại $x=-1$.

d) Ta có: $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}$

Khi đó, trên đoạn $\left[3;4\right]$, $y^{\prime }=0$ không có nghiệm.

$y\left(3\right)=\frac{13}{3};y\left(4\right)=5$.

Vậy $\underset{\left[3;4\right]}{max}y=5$ tại $x=4$, $\underset{\left[3;4\right]}{min}y=\frac{13}{3}$ tại $x=3$.

e) Hàm số có tập xác định là $\left[1;3\right]$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}$

Khi đó, trên đoạn $\left[1;3\right]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=2$.

$y\left(1\right)=\sqrt{2};y\left(2\right)=2;y\left(3\right)=\sqrt{2}$.

Vậy $\underset{\left[1;3\right]}{max}y=2$ tại $x=2$, $\underset{\left[1;3\right]}{min}y=\sqrt{2}$ tại $x=1,x=3$.

g) Hàm số có tập xác định là $\left[-4;4\right]$.

Ta có: $y^{\prime }={\left(x\right)}^{\prime }\sqrt{16-x^2}+x.{\left(\sqrt{16-x^2}\right)}^{\prime }=\sqrt{16-x^2}+x.\frac{-x}{\sqrt{16-x^2}}=\frac{16-2x^2}{\sqrt{16-x^2}}$

Khi đó, trên đoạn $\left[-4;4\right]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=-2\sqrt{2},x=2\sqrt{2}$.

$y\left(-4\right)=0;y\left(-2\sqrt{2}\right)=-8;y\left(2\sqrt{2}\right)=8;y\left(4\right)=0$.

Vậy $\underset{\left[-4;4\right]}{max}y=8$ tại $x=2\sqrt{2}$, $\underset{\left[-4;4\right]}{min}y=-8$ tại $x=-2\sqrt{2}$.