Giải bài 42 trang 76

Cho tam giác (ABC) vuông ở (A) có (AB = 3AC) và điểm (D) thuộc cạnh (AB) sao cho (AD = 2DB). Chứng minh: (widehat {ADC} + widehat {ABC} = 45^circ ).

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ vuông ở $A$ có $A B = 3 A C$ và điểm $D$ thuộc cạnh $A B$ sao cho $A D = 2 D B$ . Chứng minh: $\hat{A D C} + \hat{A B C} = 45^{\circ}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết

Gọi $E$ là trung điểm của $A D$ . Đặt $A E = x, A C = x$ .

Có $A E = E D = D B, A B = 3 A C$ nên $E D = x, E B = 2 x$ và $C E = x \sqrt{2}$ .

Xét tam giác $E D C$ và tam giác $E C B$ có:

$\hat{C E D} = \hat{C E B}$

$\frac{E D}{E C} = \frac{E C}{E B}$

nên $Δ E D C ∽ Δ E C B$ (c.g.c).

Do đó $\hat{E C D} = \hat{C E B}$ .

Vì vậy $\hat{A D C} + \hat{A B C} = \hat{E D C} + \hat{E C D} = \hat{A E C}$ .

Mặt khác, do tam giác $A E C$ là tam giác vuông cân nên $\hat{A E C} = 45^{\circ}$ .

Vậy $\hat{A D C} + \hat{A B C} = 45^{\circ}$ .