Giải bài 43 trang 20

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) y=sin2x−xy=sin⁡2x−xy = \sin 2{\rm{x}} - x trên đoạn [−π2;π2][−π2;π2]\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]; b) y=x+cos2xy=x+cos2xy = x + {\cos ^2}x trên đoạn [0;π4][0;π4]\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right];

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $y = \sin 2 x - x$ trên đoạn $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ ;

b) $y = x + \cos^{2} x$ trên đoạn $[0; \frac{π}{4}]$ ;

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ :

Bước 1. Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ thuộc khoảng $(a; b)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính $f (x_{1}), f (x_{2}), . . ., f (x_{n}), f (a)$ và $f (b)$ .

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y^{'} = 2 \cos 2 x - 1$

Khi đó, trên đoạn $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ , $y^{'} = 0$ khi $x = - \frac{π}{6}, x = \frac{π}{6}$ .

$y (- \frac{π}{2}) = \frac{π}{2}; y (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}; y (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{6}; y (\frac{π}{2}) = - \frac{π}{2}$ .

Vậy $max_{[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]} y = \frac{π}{2}$ tại $x = - \frac{π}{2}$ , $min_{[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]} y = - \frac{π}{2}$ tại $x = \frac{π}{2}$ .

b) Ta có: $y^{'} = 1 - 2 \cos x \sin x = 1 - \sin 2 x$

Khi đó, trên đoạn $[0; \frac{π}{4}]$ , $y^{'} = 0$ khi $x = \frac{π}{4}$ .

$y (0) = 1; y (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ .

Vậy $max_{[0; \frac{π}{4}]} y = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ tại $x = \frac{π}{4}$ , $min_{[0; \frac{π}{4}]} y = 1$ tại $x = 0$ .