Giải bài 43 trang 82

Cho hai đường thẳng song song ∆1: ax + by + c = 0 và ∆2: ax + by + d = 0. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bằng |d−c|√a2+b2|d−c|a2+b2\frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}

Đề bài

Cho hai đường thẳng song song ∆₁: ax + by + c = 0 và ∆₂: ax + by + d = 0. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆₁và ∆₂bằng $\frac{| d - c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆₁

Bước 2: Tính khoảng cách d(M, ∆₂) rồi biến đổi biểu thức để chứng minh

Lời giải chi tiết

Gọi $M (x_{M}; \frac{- c - a x_{M}}{b})$ thuộc đường thẳng ∆₁

Do ∆₁// ∆₂nên $d (Δ_{1}, Δ_{2}) = d (M, Δ_{2})$

Ta có: $d (M, Δ_{2}) = \frac{| a . x_{M} + b . \frac{- c - a x_{M}}{b} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $= \frac{| a x_{M} - c - a x_{M} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{| d - c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Vậy $d (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| d - c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ (ĐPCM)