Giải bài 44 trang 104

Đề bài

Cho hình vuông $A B C D$ . Lấy điểm $M$ thuộc đường chéo $B D$ . Kẻ $M E$ vuông góc với $A B$ tại $E$ , $M F$ vuông góc với $A D$ tại $F$ .

a) Chứng minh: $D E = C F; D E ⊥ C F$ .

b) Chứng minh ba đường thẳng $D E, B F, C M$ cùng đi qua một điểm.

c) Xác định vị trí của điểm $M$ trên đường chéo $B D$ để diện tích của tứ giác $A E M F$ lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành và công thức tính diện tích tam giác để chứng minh.

Lời giải chi tiết

Gọi $H$ là giao điểm của $D E$ và $C F$ , $K$ là giao điểm của $C M$ và $E F$ .

Do $A B C D$ là hình vuông nên ta có:

$\hat{D A B} = 90^{\circ}, C D = D A, \hat{A D B} = \hat{A B D} = \hat{D B C} = 45^{\circ}$

a) Ta chứng minh được tam giác $F D M$ vuông cân tại $F$ .

Suy ra $F M = D F$

Tứ giác $A E M F$ có $\hat{M F A} = \hat{F A E} = \hat{A E M} = 90^{\circ}$ nên $A E M F$ là hình chữ nhật. Suy ra $A E = F M$ .

Do đó $A E = D F$ (vì cùng bằng $F M$ )

$Δ A D E = Δ D C F$ (c.g.c). Suy ra $D E = C F$ , $\hat{A E D} = \hat{D F C}$ .

Trong tam giác $A D E$ vuông tại $A$ , ta có: $\hat{A E D} + \hat{A D E} = 90^{\circ}$

Suy ra $\hat{D F C} + \hat{A D E} = 90^{\circ}$ hay $\hat{D F H} + \hat{F H D} = 90^{\circ}$ . Từ đó ta tính được $\hat{D H F} = 90^{\circ}$ . Vậy $D E ⊥ C F$ .

b) Tương tự câu a, ta chứng minh được $B F ⊥ C E$ .

$Δ A B M = Δ C B M$ (c.g.c). Suy ra $A M = C M$ . Mà $E F = A M$ (vì $A E M F$ là hình chữ nhật) suy ra $E F = C M$ .

$Δ D E F = Δ F C M$ (c.c.c). Suy ra $\hat{D E F} = \hat{F C M}$ hay $\hat{F E H} = \hat{F C K}$

Trong tam giác $H E F$ vuông tại $H$ , ta có $\hat{F E H} + \hat{E F H} = 90^{\circ}$

Suy ra $\hat{F C K} + \hat{E F H} = 90^{\circ}$ hay $\hat{F C K} + \hat{K F C} = 90^{\circ}$ . Từ đó, ta tính được $\hat{C K F} = 90^{\circ}$ . Do đó, $C K ⊥ E F$ .

Trong tam giác $C E F$ , ta có: $D E ⊥ C F, B F ⊥ C E, C M ⊥ E F$ nên ba đường thẳng $D E, B F, C M$ là các đường cao của tam giác $C E F$ . Vậy ba đường thẳng $D E, B F, C M$ cùng đi qua một điểm.

c) Chu vi của hình chữ nhật $A E M F$ là: $2 (A E + A F) = 2 (D F + A F) = 2 A D$

Mà $A D$ không đổi nên chu vi của hình chữ nhật $A E M F$ không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác $A E M F$ lớn nhất khi $A E M F$ là hình vuông. Suy ra $M E = M F$ .

Khi đó $Δ B E M = Δ D F M$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $B M = D M$ hay $M$ là trung điểm của $B C$

Vậy với $M$ là trung điểm của $B C$ thì diện tích của tứ giác $A E M F$ lớn nhất.