Giải bài 44 trang 20

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) y=3x+3−xy=3x+3−xy = {3^x} + {3^{ - x}} trên đoạn [−1;2][−1;2]\left[ { - 1;2} \right]; b) y=x.e−2x2y=x.e−2x2y = x.{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}} trên đoạn [0;1][0;1]\left[ {0;1} \right]; c) y=ln(x2+2x+3)y=ln⁡(x2+2x+3)y = \ln \left( {{x^2} + 2{\r

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $y = 3^{x} + 3^{- x}$ trên đoạn $[- 1; 2]$ ;

b) $y = x . e^{- 2 x^{2}}$ trên đoạn $[0; 1]$ ;

c) $y = \ln (x^{2} + 2 x + 3)$ trên đoạn $[- 2; 3]$ ;

d) $y = - 3 x + 5 + x \ln x$ trên đoạn $[1; 3]$ ;

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ :

Bước 1. Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ thuộc khoảng $(a; b)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính $f (x_{1}), f (x_{2}), . . ., f (x_{n}), f (a)$ và $f (b)$ .

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y^{'} = 3^{x} . \ln 3 - 3^{- x} . \ln 3$

Khi đó, trên đoạn $[- 1; 2]$ , $y^{'} = 0$ khi $x = 0$ .

$y (- 1) = \frac{10}{3}; y (0) = 2; y (2) = \frac{82}{9}$ .

Vậy $max_{[- 1; 2]} y = \frac{82}{9}$ tại $x = 2$ , $min_{[- 1; 2]} y = 2$ tại $x = 0$ .

b) Ta có: $y^{'} = {(x)}^{'} . e^{- 2 x^{2}} + x . {(e^{- 2 x^{2}})}^{'} = e^{- 2 x^{2}} + x . (- 4 x) . e^{- 2 x^{2}} = e^{- 2 x^{2}} (1 - 4 x^{2})$

Khi đó, trên đoạn $[0; 1]$ , $y^{'} = 0$ khi $x = \frac{1}{2}$ .

$y (0) = 0; y (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 \sqrt{e}}; y (1) = \frac{1}{e^{2}}$ .

Vậy $max_{[0; 1]} y = \frac{1}{2 \sqrt{e}}$ tại $x = \frac{1}{2}$ , $min_{[0; 1]} y = 0$ tại $x = 0$ .

c) Ta có: $y^{'} = \frac{{(x^{2} + 2 x + 3)}^{'}}{x^{2} + 2 x + 3} = \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 3}$

Khi đó, trên đoạn $[- 2; 3]$ , $y^{'} = 0$ khi $x = - 1$ .

$y (- 2) = \ln 3; y (- 1) = \ln 2; y (3) = \ln 18$ .

Vậy $max_{[- 2; 3]} y = \ln 18$ tại $x = 3$ , $min_{[- 2; 3]} y = \ln 2$ tại $x = - 1$ .

d) Ta có: $y = - 3 + {(x)}^{'} \ln x + x {(\ln x)}^{'} = - 3 + \ln x + x . \frac{1}{x} = \ln x - 2$

Khi đó, trên đoạn $[1; 3]$ , $y^{'} = 0$ không có nghiệm.

$y (1) = 2; y (3) = 3 \ln 3 - 4$ .

Vậy $max_{[1; 3]} y = 2$ tại $x = 1$ , $min_{[1; 3]} y = 3 \ln 3 - 4$ tại $x = 3$ .