Giải bài 44 trang 20

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $y=3^x+3^{-x}$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$;

b) $y=x.e^{-2x^2}$ trên đoạn $\left[0;1\right]$;

c) $y=\ln \left(x^2+2x+3\right)$ trên đoạn $\left[-2;3\right]$;

d) $y=-3x+5+x\ln x$ trên đoạn $\left[1;3\right]$;

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y^{\prime }=3^x.\ln 3-3^{-x}.\ln 3$

Khi đó, trên đoạn $\left[-1;2\right]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$.

$y\left(-1\right)=\frac{10}{3};y\left(0\right)=2;y\left(2\right)=\frac{82}{9}$.

Vậy $\underset{\left[-1;2\right]}{max}y=\frac{82}{9}$ tại $x=2$, $\underset{\left[-1;2\right]}{min}y=2$ tại $x=0$.

b) Ta có: $y^{\prime }={\left(x\right)}^{\prime }.e^{-2x^2}+x.{\left(e^{-2x^2}\right)}^{\prime }=e^{-2x^2}+x.\left(-4x\right).e^{-2x^2}=e^{-2x^2}\left(1-4x^2\right)$

Khi đó, trên đoạn $\left[0;1\right]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=\frac{1}{2}$.

$y\left(0\right)=0;y\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2\sqrt{e}};y\left(1\right)=\frac{1}{e^2}$.

Vậy $\underset{\left[0;1\right]}{max}y=\frac{1}{2\sqrt{e}}$ tại $x=\frac{1}{2}$, $\underset{\left[0;1\right]}{min}y=0$ tại $x=0$.

c) Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(x^2+2x+3\right)}^{\prime }}{x^2+2x+3}=\frac{2x+2}{x^2+2x+3}$

Khi đó, trên đoạn $\left[-2;3\right]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=-1$.

$y\left(-2\right)=\ln 3;y\left(-1\right)=\ln 2;y\left(3\right)=\ln 18$.

Vậy $\underset{\left[-2;3\right]}{max}y=\ln 18$ tại $x=3$, $\underset{\left[-2;3\right]}{min}y=\ln 2$ tại $x=-1$.

d) Ta có: $y=-3+{\left(x\right)}^{\prime }\ln x+x{\left(\ln x\right)}^{\prime }=-3+\ln x+x.\frac{1}{x}=\ln x-2$

Khi đó, trên đoạn $\left[1;3\right]$, $y^{\prime }=0$ không có nghiệm.

$y\left(1\right)=2;y\left(3\right)=3\ln 3-4$.

Vậy $\underset{\left[1;3\right]}{max}y=2$ tại $x=1$, $\underset{\left[1;3\right]}{min}y=3\ln 3-4$ tại $x=3$.