Giải bài 44 trang 74

Đề bài

Tìm các số $x,y$ thỏa mãn:

a) $x-y=\frac{1}{4}-\sqrt{7};xy=\frac{\sqrt{7}}{4}$

b) $x+y=\frac{1}{6};xy=\frac{-1}{6}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có $x-y=\frac{1}{4}-\sqrt{7}$ nên $x=\frac{1}{4}-\sqrt{7}+y$.

Do đó $xy=\left(\frac{1}{4}-\sqrt{7}+y\right)y=\frac{\sqrt{7}}{4}$ hay $y^2+\left(\frac{1}{4}-\sqrt{7}\right)y-\frac{\sqrt{7}}{4}=0$

Ta có $\Delta ={\left(\frac{1}{4}-\sqrt{7}\right)}^2-\mathrm{4.1.}\frac{-\sqrt{7}}{4}=\frac{113+8\sqrt{7}}{16}>0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$\begin{array}{c}{y}_1=\frac{-\left(\frac{1}{4}-\sqrt{7}\right)-\sqrt{\frac{113+8\sqrt{7}}{16}}}{2}=\frac{\sqrt{7}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{{\left(4\sqrt{7}+1\right)}^2}}{2}=-\frac{1}{4};\\ y_2=\frac{-\left(\frac{1}{4}-\sqrt{7}\right)+\sqrt{\frac{113+8\sqrt{7}}{16}}}{2}=\frac{\sqrt{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{{\left(4\sqrt{7}+1\right)}^2}}{2}=\sqrt{7}\end{array}$

Với $y=-\frac{1}{4}$ ta có:

$x=\frac{1}{4}-\sqrt{7}+y=\frac{1}{4}-\sqrt{7}-\frac{1}{4}=-\sqrt{7}$

Với $y=\sqrt{7}$ ta có:

$x=\frac{1}{4}-\sqrt{7}+y=\frac{1}{4}-\sqrt{7}+\sqrt{7}=\frac{1}{4}$

Vậy $\left(x;y\right)\in \left\{\left(-\sqrt{7};\frac{-1}{4}\right);\left(\frac{1}{4};\sqrt{7}\right)\right\}$.

b) Đặt $x+y=S$ và $xy=P$.

Ta có $S^2-4P={\left(\frac{1}{6}\right)}^2-4.\frac{-1}{6}=\frac{25}{36}>0$ nên x, y là nghiệm của phương trình:

$X^2-\frac{1}{6}X-\frac{1}{6}=0$ hay $6X^2-X-1=0$,

do đó $\left(3X+1\right)+\left(2X-1\right)=0$

$3X+1=0$ hoặc $2X-1=0$

$X=-\frac{1}{3}$ hoặc $X=\frac{1}{2}$

Vì vai trò của x và y là như nhau nên $x=\frac{-1}{3};y=\frac{1}{2}$ hoặc $y=\frac{-1}{3};x=\frac{1}{2}$

Vậy $\left(x;y\right)\in \left\{\left(-\frac{1}{3};\frac{1}{2}\right);\left(\frac{1}{2};\frac{-1}{3}\right)\right\}$