Giải bài 45 trang 20

Đề bài

Nhóm bạn Đức dựng trên một khu đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình vuông có độ dài cạnh 4 m như Hình 9 với hai mép tấm bạt sát mặt đất. Tính khoảng cách $A B$ để khoảng không gian trong lều là lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính thể tích hình lăng trụ để tính thể tích $V (x)$ của không gian trong lều, sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số $V (x)$ .

Lời giải chi tiết

Giả sử lều dựng lên được hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ với $A C = B C = 2, B B^{'} = 4,$ $A B = x (0 < x < 4)$ .

$A H = \frac{x}{2} \Rightarrow C H = \sqrt{A C^{2} - A H^{2}} = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

$S_{Δ A B C} = A B . C H = x . \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

$V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . B B^{'} = x . \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} .4 = 2 x \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Xét hàm số $V (x) = 2 x \sqrt{16 - x^{2}}$ trên khoảng $(0; 4)$

Ta có: $y^{'} = {(2 x)}^{'} \sqrt{16 - x^{2}} + 2 x . {(\sqrt{16 - x^{2}})}^{'} = 2 \sqrt{16 - x^{2}} + 2 x . \frac{- x}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \frac{2 (8 - x^{2})}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

$y^{'} = 0$ khi $x = 2 \sqrt{2}$ .

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $max_{(0; 4)} V (x) = 16$ tại $x = 2 \sqrt{2}$ .

Vậy $A B = 2 \sqrt{2}$ thì khoảng không gian trong lều là lớn nhất.