Giải bài 45 trang 20

Nhóm bạn Đức dựng trên một khu đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình vuông có độ dài cạnh 4 m như Hình 9 với hai mép tấm bạt sát mặt đất. Tính khoảng cách ABABAB để khoảng không gian trong lều là lớn nhất.

Đề bài

Nhóm bạn Đức dựng trên một khu đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình vuông có độ dài cạnh 4 m như Hình 9 với hai mép tấm bạt sát mặt đất. Tính khoảng cách $A B$ để khoảng không gian trong lều là lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính thể tích hình lăng trụ để tính thể tích $V (x)$ của không gian trong lều, sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số $V (x)$ .

Lời giải chi tiết

Giả sử lều dựng lên được hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ với $A C = B C = 2, B B^{'} = 4,$ $A B = x (0 < x < 4)$ .

$A H = \frac{x}{2} \Rightarrow C H = \sqrt{A C^{2} - A H^{2}} = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

$S_{Δ A B C} = A B . C H = x . \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

$V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . B B^{'} = x . \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} .4 = 2 x \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Xét hàm số $V (x) = 2 x \sqrt{16 - x^{2}}$ trên khoảng $(0; 4)$

Ta có: $y^{'} = {(2 x)}^{'} \sqrt{16 - x^{2}} + 2 x . {(\sqrt{16 - x^{2}})}^{'} = 2 \sqrt{16 - x^{2}} + 2 x . \frac{- x}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \frac{2 (8 - x^{2})}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

$y^{'} = 0$ khi $x = 2 \sqrt{2}$ .

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: $max_{(0; 4)} V (x) = 16$ tại $x = 2 \sqrt{2}$ .

Vậy $A B = 2 \sqrt{2}$ thì khoảng không gian trong lều là lớn nhất.