Giải bài 45 trang 74

Cho phương trình (2{x^2} + 2left( {m + 1} right)x - 3 = 0) a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi m. b) Gọi ({x_1},{x_2}) là 2 nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2}).

Đề bài

Cho phương trình $2 x^{2} + 2 (m + 1) x - 3 = 0$

a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi $x_{1}, x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 3 x_{1} x_{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $Δ > 0$ hoặc $Δ^{'} > 0$ .

b) Bước 1: Áp dụng định lý Viète để tính $x_{1} + x_{2}; x_{1} x_{2}$ .

Bước 2: Biến đổi A để xuất hiện $x_{1} + x_{2}; x_{1} x_{2}$ .

Bước 3: Thay 2 hệ thức Viète vào biểu thức vừa tìm được rồi tính m.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình có các hệ số $a = 2; b = 2 (m + 1); c = - 3$ ,

do đó $b^{'} = \frac{b}{2} = m + 1$

Ta có $Δ^{'} = {(m + 1)}^{2} - 2. (- 3) = {(m + 1)}^{2} + 6$ . Do ${(m + 1)}^{2} \geq 0$ ; $6 > 0$ nên ${(m + 1)}^{2} + 6 > 0$ với mọi $m$ .

Suy ra $Δ^{'} > 0$ với mọi $m$ .

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m nên áp dụng định lý Viète ta có:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- 2 (m + 1)}{2} = - m - 1; x_{1} x_{2} = \frac{- 3}{2}$

Ta lại có:

$A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 3 x_{1} x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} + x_{1} x_{2} = {(m + 1)}^{2} - \frac{3}{2}$

Vì ${(m + 1)}^{2} \geq 0$ nên $A = {(m + 1)}^{2} - \frac{3}{2} \geq - \frac{3}{2}$ với mọi $m$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${(m + 1)}^{2} = 0$ hay $m = - 1$ .

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng $- \frac{3}{2}$ khi $m = - 1$ .