Giải bài 46 trang 92

Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh đôi một khác nhau. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, D là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh −−→HA+−−→HB+−−→HC=−−→HDHA→+HB→+HC→=HD→\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD}

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh đôi một khác nhau. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, D là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh $\vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} = \vec{H D}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Lấy E đối xứng với A qua O

Bước 2: Chứng minh các tứ giác ADEH, BHCE là hình bình hành

Bước 3: Áp dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh $\vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} = \vec{H D}$

Lời giải chi tiết

Gọi E là điểm đối xứng với A qua O . Khi đó AE là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Tứ giác ADEH có O là trung điểm HD và AE nên là hình bình hành

$\Rightarrow \vec{H A} + \vec{H E} = \vec{H D}$ (1)

Lại có: $\hat{A C E}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\hat{A C E} = 90^{0}$ $\Rightarrow E C ⊥ A C$ , mà $B H ⊥ A C$

$\Rightarrow E C / / B H$

Chứng minh tương tự ta có $B E / / H C$

Tứ giác BHCE có $E C / / B H$ , $B E / / H C$ nên là hình bình hành

$\Rightarrow \vec{H B} + \vec{H C} = \vec{H E}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\vec{H A} + \vec{H B} + \vec{H C} = \vec{H A} + \vec{H E} = \vec{H D}$ (ĐPCM)