Giải bài 48 trang 69

Cho biểu thức A=√x+1√x−1+√x−1√x+1−3√x+1x−1A=x+1x−1+x−1x+1−3x+1x−1A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}} với x≥0,x≠1x≥0,x≠1x \ge 0,x \ne 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của biểu thức A tại x=121x=121x = 121. c) Tìm giá t

Đề bài

Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{3 \sqrt{x} + 1}{x - 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của biểu thức A tại $x = 121$ .

c) Tìm giá trị của $x$ để $A = \frac{1}{2}$ .

d) Tìm giá trị của $x$ để $A = \sqrt{x} - 1$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Quy đồng mẫu thức các phân thức.

b) Thay $x = 121$ vào biểu thức A đã rút gọn.

c) Để $A = \frac{1}{2}$ thì $\frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2}$ .

d) Để $A = \sqrt{x} - 1$ thì $\frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} - 1$ .

Lời giải chi tiết

a) $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{3 \sqrt{x} + 1}{x - 1}$

$\begin{array}{l} = \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} + \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} - \frac{3 \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} \\ = \frac{x + 2 \sqrt{x} + 1 + x - 2 \sqrt{x} + 1 - 3 \sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{2 x - 3 \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{(\sqrt{x} - 1) (2 \sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \end{array}$

Vậy $A = \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1$

b) Thay $x = 121$ (tmđk) vào A, ta được:

$A = \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2 \sqrt{121} - 1}{\sqrt{121} + 1} = \frac{2.11 - 1}{11 + 1} = \frac{7}{4}$

Vậy với $x = 121$ thì $A = \frac{7}{4}$ .

c) Để $A = \frac{1}{2}$ thì $\frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2}$ .

Giải phương trình trên:

$\begin{array}{l} \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2} \\ 2 (2 \sqrt{x} - 1) = \sqrt{x} + 1 \\ 4 \sqrt{x} - 2 = \sqrt{x} + 1 \\ 3 \sqrt{x} = 3 \\ \sqrt{x} = 1 \\ x = 1 \end{array}$

Ta thấy $x = 1$ không thỏa mãn điều kiện. Vậy không có giá trị nào thỏa mãn đề bài.

d) Để $A = \sqrt{x} - 1$ thì $\frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} - 1$

Giải phương trình trên:

$\begin{array}{l} \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} - 1 \\ 2 \sqrt{x} - 1 = (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1) \\ 2 \sqrt{x} - 1 = x - 1 \\ x - 2 \sqrt{x} = 0 \\ \sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) = 0 \end{array}$

$\sqrt{x} = 0$ hoặc $\sqrt{x} - 2 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = 4$

Ta thấy $x = 0, x = 4$ thỏa mãn điều kiện. Vậy $x = 0, x = 4$ là các giá trị cần tìm.