Giải bài 49 trang 69

Đề bài

Cho biểu thức $B=\frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}$ với $x>0$.

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị biểu thức B tại $x=3-2\sqrt{2}.$

c) Tìm giá trị của $x\in N\ast$ để B nguyên.

Lời giải chi tiết

a) Với $x>0$, ta có:

$\begin{array}{c}B=\frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\\ =\frac{x-2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\frac{x-2-\sqrt{x}-2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{x-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\end{array}$

Vậy $B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$.

b) Thay $x=3-2\sqrt{2}={\left(\sqrt{2}-1\right)}^2$ (thỏa mãn điều kiện) vào B, ta được:

$B=\frac{\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}-2}{\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}}=\frac{\left|\sqrt{2}-1\right|-2}{\left|\sqrt{2}-1\right|}=\frac{\sqrt{2}-1-2}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}-3}{\sqrt{2}-1}=\frac{\left(\sqrt{2}-3\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}=-1-2\sqrt{2}$

Vậy $B=-1-2\sqrt{2}$ với $x=3-2\sqrt{2}$.

c) $B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=1-\frac{2}{\sqrt{x}}$

Với $x>0$, để B nguyên thì $\frac{2}{\sqrt{x}}$ nguyên, khi đó $\sqrt{x}$ là ước của 2, mà $\sqrt{x}>0$ nên $\sqrt{x}\in \left\{1;2\right\}$.

Với $\sqrt{x}=1$ suy ra $x=1$; Với $\sqrt{x}=2$ suy ra $x=4$

Mà $x\in N\ast$ và kết hợp với điều kiện xác định. Vậy $x=1$,$x=4$ là các giá trị cần tìm.