Giải bài 5.10 trang 29

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{c}x=2+3t\\ y=-1-t\\ z=-3+2t\end{array}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x-y-z=0$.

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng $\left(P\right)$.

b) Viết phương trình đường thẳng $d^{\prime }$ nằm trên mặt phẳng $\left(P\right)$ sao cho $d^{\prime }$ cắt và vuông góc với $d$.

Lời giải chi tiết

a) Do I thuộc đường thẳng d nên I có tọa độ $I\left(2+3t;-1-t;-3+2t\right)$.

Vì $I\in \left(P\right)$ suy ra  $\left(2+3t\right)-\left(-1-t\right)-\left(-3+2t\right)=0\iff t=-3$. Do đó $I\left(-7;2;-9\right)$.

b) Do $d^{\prime }$ nằm trên mặt phẳng $\left(P\right)$ và $d^{\prime }$ cắt $d$ nên giao điểm của $d$ và $d^{\prime }$ là giao điểm của $d$ và $\left(P\right)$. Suy ra $d\cap d^{\prime }=I$. Mặt khác $d^{\prime }$ vuông góc với $d$ nên tích có hướng của vectơ chỉ phương của $d$ với vectơ pháp tuyến của $\left(P\right)$ là một vectơ chỉ phương của $d^{\prime }$.

Ta có $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-1;-1\right)$ và $\overrightarrow{u_d}=\left(3;-1;2\right)$ suy ra vectơ chỉ phương của $d^{\prime }$ là $\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=\left(-1;-5;2\right)$.

Phương trình tham số của $d^{\prime }$ là $d^{\prime }:\{\begin{array}{c}x=-7-1t\\ y=2-5t\\ z=-9+2t\end{array}$.