Giải bài 5.11 trang 29

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:⎧⎪⎨⎪⎩x=1+2ty=−2+tz=4−3td:{x=1+2ty=−2+tz=4−3td:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\\z = 4 - 3t\end{array} \right. và d′:⎧⎪⎨⎪⎩x=1−2sy=2−sz=5+3sd′:{x=1−2sy=2−sz=5+3sd':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2s\\y = 2 - s\\z = 5 + 3s\end{array} \right. a

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + t \\ z = 4 - 3 t \end{cases}$ và $d^{'} : {\begin{cases} x = 1 - 2 s \\ y = 2 - s \\ z = 5 + 3 s \end{cases}$

a) Chứng minh rằng $d ∥ d^{'}$ .

b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ và $d^{'}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Chỉ ra hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng cùng phương và lấy một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng $d$ chỉ ra điểm đó không thuộc $d^{'}$ .

Ý b: Lấy $A, B$ lần lượt thuộc $d$ và $d^{'}$ , tích có hướng của $\vec{A B}$ và một trong hai vectơ chỉ phương của một trong hai đường thẳng đang xét là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của $d$ , $d^{'}$ lần lượt là $\vec{u_{d}} = (2; 1; - 3)$ và $\vec{u_{d^{'}}} = (- 2; - 1; 3)$ .

Ta có $\vec{u_{d}} = - \vec{u_{d^{'}}}$ hay cùng phương do đó $d$ và $d^{'}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy $A (1; - 2; 4) \in d$ ta sẽ kiểm tra $A$ có thuộc $d^{'}$ hay không.

Thay tọa độ A vào phương trình của $d^{'}$ ta có

${\begin{cases} 1 = 1 - 2 s \\ - 2 = 2 - s \\ 4 = 5 + 3 s \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} s = 0 \\ s = 4 \\ s = \frac{- 1}{3} \end{cases}$ (Vô lý). Do đó $d^{'}$ không đi qua A.

Vậy $d ∥ d^{'}$ .

b) Lấy $B (1; 2; 5) \in d^{'}$ , do $d ∥ d^{'}$ nên mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng này nhận tích có hướng của $\vec{A B}$ và một trong hai vectơ chỉ phương của một trong hai đường thẳng đang xét là một vectơ pháp tuyến.

Xét $\vec{u_{d}} = (2; 1; - 3)$ và $\vec{A B} = (0; 4; 1)$ ta có $[\vec{u_{d}}; \vec{A B}] = (13; - 2; 8) = \vec{n_{P}}$ .

Phương trình mặt phẳng của $(P)$ là $13 (x - 1) - 2 (y + 2) + 8 (z - 4) = 0 \Leftrightarrow 13 x - 2 y + 8 z - 49 = 0$ .