Giải bài 5.17 trang 65

Cho đường tròn (O) và điểm P. a) Giả sử (P in left( O right)). Vẽ đường thẳng a đi qua P và vuông góc với OP. Chứng minh rằng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P. b) Giả sử P nằm ngoài (O). Vẽ đường tròn đường kính OP. Đường tròn vừa vẽ cắt (O) tại A và B. Chứng minh rằng PA và PB là hai tiếp t

Đề bài

Cho đường tròn (O) và điểm P.

a) Giả sử $P \in (O)$ . Vẽ đường thẳng a đi qua P và vuông góc với OP. Chứng minh rằng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P.

b) Giả sử P nằm ngoài (O). Vẽ đường tròn đường kính OP. Đường tròn vừa vẽ cắt (O) tại A và B. Chứng minh rằng PA và PB là hai tiếp tuyến của (O).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Vì $P \in (O)$ và $a ⊥ O P$ tại P nên a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P.

b) + Gọi I là trung điểm của OP. Suy ra, bốn điểm O, A, P, B thuộc đường tròn tâm I, đường kính OP.

+ Chứng minh tam giác OBP vuông tại B, suy ra $O B ⊥ B P$ tại B, suy ra PB là tiếp tuyến của (O) tại B.

+ Chứng minh tam giác OAP vuông tại A, do đó $O A ⊥ A P$ tại A, suy ra PA là tiếp tuyến của (O) tại A.

Lời giải chi tiết

a) Vì $P \in (O)$ và $a ⊥ O P$ tại P nên a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P.

b) Gọi I là trung điểm của OP. Suy ra, bốn điểm O, A, P, B thuộc đường tròn tâm I, đường kính OP.

Tam giác OBP có BI là đường trung tuyến và $B I = I P = O I = \frac{1}{2} O P$ nên tam giác OBP vuông tại B. Do đó, $O B ⊥ B P$ tại B.

Vì B thuộc (O) và $O B ⊥ B P$ tại B nên PB là tiếp tuyến của (O) tại B.

Tam giác OAP có AI là đường trung tuyến và $A I = I P = O I = \frac{1}{2} O P$ nên tam giác OAP vuông tại A. Do đó, $O A ⊥ A P$ tại A.

Vì A thuộc (O) và $O A ⊥ A P$ tại A nên PA là tiếp tuyến của (O) tại A.