Giải bài 5.18 trang 32

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:⎧⎪⎨⎪⎩x=1y=2+√3tz=−3+tΔ:{x=1y=2+3tz=−3+t\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + \sqrt 3 t\\z = - 3 + t\end{array} \right. a) Tính góc giữa đường thẳng ΔΔ\Delta và mặt phẳng (Oxy). b) Tính góc giữa đường thẳng ΔΔ\Delta và trục Oy.

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : {\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + \sqrt{3} t \\ z = - 3 + t \end{cases}$

a) Tính góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (Oxy).

b) Tính góc giữa đường thẳng $Δ$ và trục Oy.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Xác định vectơ chỉ phương của $Δ$ và vectơ pháp tuyến của (Oxy). Áp dụng công thức tìm góc.

Ý b: Xác định vectơ chỉ phương của $Δ$ và Oy. Áp dụng công thức tìm góc.

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ là $\vec{u} = (0; \sqrt{3}; 1)$ . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là $\vec{k} = (0; 0; 1)$ .

Ta có $\sin (Δ, (O x y)) = \frac{| \vec{u} \cdot \vec{k} |}{| \vec{u} | \cdot | \vec{k} |} = \frac{| 1 |}{\sqrt{3 + 1} \cdot \sqrt{1}} = \frac{1}{2}$ . Suy ra $(Δ, (O x y)) = 30^{\circ}$ .

b) Vectơ chỉ phương của Oy là $\vec{j} = (0; 1; 0)$ .

Ta có $\sin (Δ, O y) = \frac{| \vec{u} \cdot \vec{j} |}{| \vec{u} | \cdot | \vec{j} |} = \frac{| \sqrt{3} |}{\sqrt{3 + 1} \cdot \sqrt{1}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Suy ra $(Δ, O y) = 30^{\circ}$ .