Giải bài 5.18 trang 32

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2+\sqrt{3}t\\ z=-3+t\end{array}$

a) Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (Oxy).

b) Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và trục Oy.

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=\left(0;\sqrt{3};1\right)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$.

Ta có $\sin \left(\Delta ,\left(Oxy\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot \left|\overrightarrow{k}\right|}=\frac{\left|1\right|}{\sqrt{3+1}\cdot \sqrt{1}}=\frac{1}{2}$. Suy ra $\left(\Delta ,\left(Oxy\right)\right)={30}^{\circ }$.

b) Vectơ chỉ phương của Oy là $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$.

Ta có $\sin \left(\Delta ,Oy\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{j}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot \left|\overrightarrow{j}\right|}=\frac{\left|\sqrt{3}\right|}{\sqrt{3+1}\cdot \sqrt{1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $\left(\Delta ,Oy\right)={30}^{\circ }$.