Giải bài 5.19 trang 65

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A). a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O); b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằ

Đề bài

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A).

a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O);

b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằng 3cm và $\hat{M A B} = 60^{o}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Gọi H là giao điểm của MO và AB. Do đó, MO vuông góc với AB tại H.

+ Chứng minh $Δ A O H = Δ B O H (c h - c g v)$ nên $\hat{A O H} = \hat{B O H}$ .

+ Chứng minh $Δ A O M = Δ B O M (c - g - c)$ nên $\hat{M A O} = \hat{M B O} = 90^{o}$ .

+ Suy ra $M B ⊥ O B$ tại B. Do đó, MB là tiếp tuyến của (O)

b) + Chứng minh tam giác MAB cân tại M và $\hat{M A B} = 60^{o}$ nên tam giác MAB đều, suy ra $\hat{A M B} = 60^{o}$

+ Ta có $\hat{A O B} + \hat{O B M} + \hat{B M A} + \hat{M A O} = 360^{o}$ , từ đó tính được góc AOB và số đo cung nhỏ AB.

+ Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB ( $S_{q}$ ).

+ Tính được $\hat{A M O} = \frac{1}{2} \hat{A O B} = 60^{o}$ .

+ Tam giác MOA vuông tại A nên $A M = A O . \tan \hat{A M O}$ .

+ Chứng minh $S_{Δ A M O} = S_{Δ B M O} = \frac{1}{2} O A . A M$ , từ đó tính diện tích tứ giác AOBM ( $S_{A O B M}$ ).

+ Diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là: $S = S_{A O B M} - S_{q}$ .

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Do đó, MO vuông góc với AB tại H.

Tam giác AOH và tam giác BOH có:

OH chung, $O A = O B$ , $\hat{O H A} = \hat{B H O} = 90^{o}$

nên $Δ A O H = Δ B O H (c h - c g v)$

nên $\hat{A O H} = \hat{B O H}$ hay $\hat{A O M} = \hat{B O M}$ .

Tam giác AOM và tam giác BOM có:

OM chung, $O A = O B$ , $\hat{A O M} = \hat{B O M}$

nên $Δ A O M = Δ B O M (c - g - c)$

nên $\hat{M A O} = \hat{M B O} = 90^{o}$ .

Do đó, $M B ⊥ O B$ tại B.

Do đó, MB là tiếp tuyến của (O).

b) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên $M A = M B$ .

Do đó, tam giác MAB cân tại M.

Mà $\hat{M A B} = 60^{o}$ nên tam giác MAB đều.

Do đó, $\hat{A M B} = 60^{o}$ .

Tứ giác AOBM có:

$\hat{A O B} + \hat{O B M} + \hat{B M A} + \hat{M A O} = 360^{o}$

Suy ra:

$\hat{A O B} = 360^{o} - (\hat{O B M} + \hat{B M A} + \hat{M A O}) = 360^{o} - (90^{o} + 90^{o} + 60^{o}) = 120^{o}$

Vì AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên sđ $\overset{⌢}{A B}$ _nhỏ $= 120^{o}$ .

Do đó, diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:

$S_{q} = \frac{120}{360} . π {.3}^{2} = 3 π (c m^{2})$

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên OM là phân giác của góc AOB nên $\hat{A O M} = \frac{1}{2} \hat{A O B} = 60^{o}$ .

Tam giác MOA vuông tại A nên

$A M = A O . \tan \hat{A O M} = 3. \tan 60^{o} = 3 \sqrt{3} (c m)$ .

Vì $Δ A O M = Δ B O M (c m t)$

nên $S_{Δ A M O} = S_{Δ B M O}$ $= \frac{1}{2} O A . A M = \frac{1}{2} .3 .3 \sqrt{3}$ $= \frac{9 \sqrt{3}}{2} (c m^{2})$ .

Do đó diện tích tứ giác AOBM là:

$S_{A O B M} = 2 S_{Δ A M O} = 9 \sqrt{3} (c m^{2})$ .

Vậy diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là:

$S = S_{A O B M} - S_{q} = 9 \sqrt{3} - 3 π (c m^{2})$ .