Giải bài 5.19 trang 83

Cho hàm số f(x)=sin2xx2f(x)=sin2xx2f\left( x \right) = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}. Chứng minh rằng limx→+∞f(x)=0limx→+∞⁡f(x)=0\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0

Đề bài

Cho hàm số $f (x) = \frac{\sin^{2} x}{x^{2}}$ . Chứng minh rằng $lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; + \infty)$ . Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi $x \to + \infty$ nếu dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} > a$ và khi $x_{n} \to + \infty$ , ta có $f (x_{n}) \to L .$ Kí hiệu $lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ khi $x \to + \infty$

Lời giải chi tiết

Lấy dãy số $(x_{n})$ bất kì sao cho $x_{n} \to + \infty .$ Khi đó: $| f (x_{n}) | = \frac{\sin^{2} x_{n}}{x_{n}^{2}} \leq \frac{1}{x_{n}^{2}} \to 0$ khi $n \to + \infty .$ Vậy $lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = 0$ . Do đó, $lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ .