Giải bài 5.2 trang 78

Tính các giới hạn sau:

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) $lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n - 2);$

b) $lim_{n \to + \infty} (2 + n^{2} - \sqrt{n^{4} + 1});$

c) $lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} - n + 2} + n);$

d) $lim_{n \to + \infty} (3 n - \sqrt{4 n^{2} + 1}) .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Nếu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ và $lim_{n \to + \infty} v_{n} = + \infty$ (hoặc $lim_{n \to + \infty} v_{n} = - \infty$ ) thì $lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = 0$

+ Nếu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a > 0$ và $lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ và $v_{n} > 0$ với mọi n thì $lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = + \infty$

+ Nếu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ và $lim_{n \to + \infty} v_{n} = a > 0$ thì $lim_{n \to + \infty} u_{n} v_{n} = + \infty$

Lời giải chi tiết

a) $lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n - 2) = lim_{n \to + \infty} \frac{- 2 n - 4}{\sqrt{n^{2} + 2 n} + n + 2} = lim_{n \to + \infty} \frac{- 2 - \frac{4}{n}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1 + \frac{2}{n}} = - 1$

b) $lim_{n \to + \infty} (2 + n^{2} - \sqrt{n^{4} + 1}) = lim_{n \to + \infty} \frac{4 n^{2} + 3}{2 + n^{2} + \sqrt{n^{4} + 1}} = lim_{n \to + \infty} \frac{4 + \frac{3}{n^{2}}}{\frac{2}{n^{2}} + 1 + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{4}}}} = 2$

c) $lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} - n + 2} + n) = lim_{n \to + \infty} n (\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} + 1) = + \infty$

d) $lim_{n \to + \infty} (3 n - \sqrt{4 n^{2} + 1}) = lim_{n \to + \infty} n (3 - \sqrt{4 + \frac{1}{n^{2}}}) = + \infty$