Giải bài 5.20 trang 32

Trong không gian Oxyz, hai con đường tại một nút giao thông tương ứng thuộc hai đường thẳng: Δ1:x−11=y+12=z1Δ1:x−11=y+12=z1{\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{1} và Δ2:x+13=y−21=z+14Δ2:x+13=y−21=z+14{\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{4}. a) Nú

Đề bài

Trong không gian Oxyz, hai con đường tại một nút giao thông tương ứng thuộc hai đường thẳng:

$Δ_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{4}$ .

a) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

b) Tại nút giao thông nói trên, hai con đường tạo với nhau một góc bằng bao nhiêu độ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ . Nếu chúng chéo nhau thì nút giao thông khác mức, các trường hợp còn lại là cùng mức.

Ý b: Tính góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua điểm $A (1; - 1; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; 2; 1)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua điểm $B (- 1; 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (3; 1; 4)$ .

Ta có $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (7; - 1; 5)$ suy ra $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \cdot \vec{A B} = - 19 \neq 0$ .

Do đó $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau. Vậy nút giao thông đó là nút giao thông khác mức.

b) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}} = (2; 2; 1)$ , $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{2}} = (3; 1; 4)$ Ta có $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| \vec{u_{1}} \cdot \vec{u_{2}} |}{| \vec{u_{1}} | | \vec{u_{2}} |} = \frac{| 3 + 2 + 4 |}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{26}} = \frac{9}{\sqrt{156}} \Rightarrow (Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 43, 9^{\circ}$ .

Vậy hai con đường tạo với nhau một góc khoảng $43, 9^{\circ}$ .