Giải bài 5.21 trang 65

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH; b) Gọi M và N là các điểm đối xứng với H lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng BM và CN là hai tiếp tuyến của (A); c) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (A); d) Tính diện tích của tứ

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH.

a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH;

b) Gọi M và N là các điểm đối xứng với H lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng BM và CN là hai tiếp tuyến của (A);

c) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (A);

d) Tính diện tích của tứ giác BMNC, biết $H B = 2 c m$ và $H C = 4, 5 c m$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chỉ ra $A H ⊥ B C$ tại H, H thuộc (A, AH) nên BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH.

b) + Chứng minh $Δ A M B = Δ A H B (c . c . c)$ .

Do đó, $\hat{A M B} = \hat{A H B} = 90^{o}$ .

+ Chứng minh M thuộc đường tròn (A). Suy ra, BM vuông góc với AM tại M nên BM là tiếp tuyến của (A) tại M.

+ Chứng minh $Δ A N C = Δ A H C (c . c . c)$ .

Do đó, $\hat{A N C} = \hat{A H C} = 90^{o}$ .

+ Chỉ ra N thuộc đường tròn (A).

+ Suy ra, CN vuông góc với AN tại N nên AN là tiếp tuyến của (A) tại N.

c) + Chứng minh $\hat{M A B} = \hat{H A B}$ , $\hat{N A C} = \hat{H A C}$ , $\hat{H A B} + \hat{H A C} = 90^{o}$ .

+ Do đó, $\hat{M A B} + \hat{H A B} + \hat{N A C} + \hat{H A C} = 180^{o}$

+ Suy ra, ba điểm M, A, N thẳng hàng. Vậy MN là đường kính của (A).

d) + Chứng minh $B M = B H$ , $C N = C H$ .

+ Do đó, $B M + C N = B H + C H = 2 + 4, 5 = 6, 5 (c m)$

+ Chứng minh $Δ H B A ∽ Δ H A C (g . g)$ nên $\frac{A H}{C H} = \frac{B H}{A H}$ , từ đó tính được AH, tính được MN.

+ Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang vuông.

+ Diện tích hình thang BMNC là: $S = \frac{1}{2} M N (B M + C N)$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên $A H ⊥ B C$ tại H. Mà H thuộc (A, AH) nên BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH.

b) Vì M đối xứng với H qua AB nên $A M = A H$ và $B M = B H$ , AB chung nên $Δ A M B = Δ A H B (c . c . c)$ .

Do đó, $\hat{A M B} = \hat{A H B} = 90^{o}$ .

Lại có $A M = A H$ nên M thuộc đường tròn (A).

Suy ra, BM vuông góc với AM tại M nên BM là tiếp tuyến của (A) tại M.

Vì N đối xứng với H qua AC nên $C N = C H$ và $A H = A N$ , AC chung nên $Δ A N C = Δ A H C (c . c . c)$ .

Do đó, $\hat{A N C} = \hat{A H C} = 90^{o}$ .

Lại có $A H = A N$ nên N thuộc đường tròn (A).

Suy ra, CN vuông góc với AN tại N nên AN là tiếp tuyến của (A) tại N.

c) Vì $Δ A M B = Δ A H B (c m t)$ nên $\hat{M A B} = \hat{H A B}$ .

Vì $Δ A N C = Δ A H C (c m t)$ nên $\hat{N A C} = \hat{H A C}$ .

Vì $A H ⊥ B C$ tại H nên $\hat{H A B} + \hat{H A C} = 90^{o}$ .

Do đó, $\hat{M A B} + \hat{H A B} + \hat{N A C} + \hat{H A C}$ $= 2 (\hat{H A B} + \hat{H A C})$ $= {2.90}^{o} = 180^{o}$

Suy ra, ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Mà $A M = A N (= A H)$ nên MN là đường kính của (A).

d) Vì MB và BH là hai tiếp tuyến cắt nhau tại B của (A) nên $B M = B H$ .

Vì CN và CH là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của (A) nên $C N = C H$ .

Do đó, $B M + C N = B H + C H = 2 + 4, 5 = 6, 5 (c m)$ .

Ta có:

$\hat{B A H} + \hat{A B C} = \hat{A C H} + \hat{A B C} (= 90^{o})$ nên $\hat{B A H} = \hat{A C H}$ .

Mà $\hat{B H A} = \hat{C H A} = 90^{o}$ nên $Δ H B A ∽ Δ H A C (g . g)$

nên $\frac{A H}{C H} = \frac{B H}{A H}$ ,

suy ra $A H^{2} = B H . C H = 4, 5.2 = 9$ .

Suy ra $A H = 3 c m$ .

Do đó, $M N = 2 A H = 6 c m$ .

Ta có: $B M ⊥ M N, C N ⊥ M N$ nên BM//NC.

Do đó, tứ giác BMNC là hình thang vuông.

Diện tích hình thang BMNC là:

$S = \frac{1}{2} M N (B M + C N) = \frac{1}{2} .6 .6, 5 = 19, 5 (c m^{2})$ .