Giải bài 5.24 trang 68
Đề bài
Cho điểm A và đường tròn (O; R) sao cho .
a) Chứng minh rằng đường tròn (A; 2R) cắt đường tròn (O; R). Gọi B là một trong hai giao điểm của chúng.
b) Gọi C là điểm đối xứng với B qua O. Nối A với C cắt (O) tại D (khác C). Chứng minh rằng .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh nên đường tròn (A; 2R) cắt đường tròn (O; R).
b) + Sử dụng tính đối xứng của đường tròn và do C đối xứng với B qua O, ta có .
+ Chứng minh tam giác BCD vuông tại D, suy ra .
+ Chứng minh tam giác ABC cân tại B, BD là đường cao đồng thời là trung tuyến. Do đó, .
Lời giải chi tiết
a) Vì nên nên đường tròn (A; 2R) cắt đường tròn (O; R).
b) Do tính đối xứng của đường tròn và do C đối xứng với B qua O, ta có .
Do đó, BC là một đường kính của (O; R).
Lại có, AB là một bán kính của (A; 2R).
Suy ra, .
Suy ra tam giác ABC cân tại B.
Mặt khác, tam giác BCD có DO là trung tuyến và nên tam giác BCD vuông tại D.
Suy ra: .
Tam giác ABC cân tại B nên BD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến. Do đó, .