Giải bài 5.25 trang 34

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left(1;2;1\right)$ và $B\left(-1;-2;3\right)$. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc thuộc trục Ox và (S) đi qua hai điểm A và B.

Lời giải chi tiết

Do I thuộc trục Ox nên I có tọa độ $\left(a;0;0\right)$.

(S) đi qua hai điểm A và B suy ra I nằm trên đường trung trực của cạnh AB.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-2;-4;2\right)$

Gọi d là đường trung trực của cạnh AB.

Khi đó d đi qua trung điểm $M\left(0;0;2\right)$ của cạnh AB và nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;0;1\right)$ làm vectơ chỉ phương

(do $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{AB}$).

Phương trình tham số của d là $\{\begin{array}{c}x=t\\ y=0\\ z=2+t\end{array}$. Do $I\in d$ nên thay $I\left(a;0;0\right)$ vào d ta được:

$\{\begin{array}{c}a=t\\ 0=0\\ 0=2+t\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=t\\ t=-2\end{array}\Rightarrow a=-2\Rightarrow I\left(-2;0;0\right)$. Bán kính mặt cầu (S) là $R=IA=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}$.

Suy ra (S): ${\left(x+2\right)}^2+y^2+z^2=14$.