Giải bài 5.25 trang 86

Đề bài

Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:

a) $x^2=\sqrt{x+1}$, trong khoảng $\left(1;2\right)$

b) $\cos x=x,$ trong khoảng $\left(0;1\right)$

Lời giải chi tiết

a) Hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x+1}-x^2$ liên tục trên đoạn $\left[1;2\right]$.

Mà $f\left(1\right)=1-\sqrt{2}<0,f\left(2\right)=4-\sqrt{2}>0.$

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm $c\in \left(1;2\right)$ sao cho $f\left(c\right)=0$

b) Hàm số $f\left(x\right)=\cos x-x$ liên tục trên đoạn $\left[0;1\right]$.

Mà $f\left(0\right)=1>0,f\left(1\right)=\cos 1-1<0.$

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm $c\in \left(0;1\right)$ sao cho $f\left(c\right)=0$