Giải bài 5.26 trang 34

Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1). Từ vị trí (Aleft( {frac{1}{2};frac{1}{2};frac{1}{{sqrt 2 }}} right)), người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng (overrightarrow v = left( {2;2; - 3} right)). Tính độ dài đường hầm cầ

Đề bài

Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ .

Từ vị trí $A (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{\sqrt{2}})$ , người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng $\vec{v} = (2; 2; - 3)$ . Tính độ dài đường hầm cần đào.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đường hầm nằm trên đường thẳng đi qua A có một vectơ chỉ phương là $\vec{v} = (2; 2; - 3)$ .

Tìm giao điểm B khác A của đường thẳng này và mặt cầu.

Độ dài đường hầm cần đào là độ dài cạnh AB.

Lời giải chi tiết

Đường hầm nằm trên đường thẳng d đi qua A và nhận $\vec{v} = (2; 2; - 3)$ là vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình tham số của d là ${\begin{cases} x = \frac{1}{2} + 2 t \\ y = \frac{1}{2} + 2 t \\ z = \frac{1}{\sqrt{2}} - 3 t \end{cases}$

Gọi B là điểm cuối của đường hầm cần đào. Khi đó B là giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu (S). Do B thuộc d nên $B (\frac{1}{2} + 2 t; \frac{1}{2} + 2 t; \frac{1}{\sqrt{2}} - 3 t)$ với $t \neq 0$ để B không trùng với A.

Vì B thuộc (S) nên ta có:

${(\frac{1}{2} + 2 t)}^{2} + {(\frac{1}{2} + 2 t)}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{2}} - 3 t)}^{2} = 1$

$\Leftrightarrow 1 + (4 - 3 \sqrt{2}) t + 17 t^{2} = 1$

$\Leftrightarrow (4 - 3 \sqrt{2}) t + 17 t^{2} = 0$

$\Rightarrow t = \frac{3 \sqrt{2} - 4}{17}$ (do trường hợp $t = 0$ không thỏa mãn).

Suy ra $A B = \sqrt{{(2 t)}^{2} + {(2 t)}^{2} + {(- 3 t)}^{2}} = | t | \sqrt{17} = \frac{3 \sqrt{2} - 4}{\sqrt{17}}$ .

Vậy độ dài đường hầm cần đào là $\frac{3 \sqrt{2} - 4}{\sqrt{17}}$ .