Giải bài 5.26 trang 68

Cho tam giác ABC. a) Chứng minh rằng hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau. Gọi A’ là giao điểm khác A của hai đường tròn đó. b) Chứng minh rằng A và A’ đối xứng nhau qua BC. c) Biết rằng (AA' = 24cm,AB = 15cm) và (AC = 13cm). Tính độ dài BC.

Đề bài

Cho tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau. Gọi A’ là giao điểm khác A của hai đường tròn đó.

b) Chứng minh rằng A và A’ đối xứng nhau qua BC.

c) Biết rằng $A A^{'} = 24 c m, A B = 15 c m$ và $A C = 13 c m$ . Tính độ dài BC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABC ta có: $| A B - A C | < B C < A B + A C$ nên hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau.

b) + Chứng minh $Δ A B C = Δ A^{'} B C$ . Suy ra $\hat{A B C} = \hat{A^{'} B C}$ nên BC là đường phân giác của góc ABA’.

+ Chứng minh tam giác AA’B cân tại B, suy ra BC là đường trung trực của AA’. Do đó, A và A’ đối xứng nhau qua BC.

c) + Gọi D là giao điểm của BC và AA’.

+ Chứng minh tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.

+ Chứng minh $A D = D A^{'}$ nên $A D = \frac{A A^{'}}{2}$ .

+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại D tính được BD.

+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ACD vuông tại D tính được CD.

+ $B C = B D + D C$ .

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABC ta có:

$| A B - A C | < B C < A B + A C$ nên hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau.

b) Tam giác ABC và tam giác A’BC có: $A C = A^{'} C, A B = A^{'} B$ , BC chung nên $Δ A B C = Δ A^{'} B C (c . c . c)$ .

Suy ra: $\hat{A B C} = \hat{A^{'} B C}$ .

Do đó, BC là phân giác của góc ABA’.

Vì $A B = A^{'} B$ nên tam giác AA’B cân tại B nên BC vừa là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của tam giác AA’B.

Suy ra, BC là đường trung trực của AA’ nên A và A’ đối xứng nhau qua BC.

c) Gọi D là giao điểm của BC và AA’.

Theo b ta có: $A D = D A^{'}$ và $B C ⊥ A A^{'}$ tại D.

Do đó, tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.

Vì $A D = D A^{'}$ nên $A D = \frac{A A^{'}}{2} = 12 c m$ .

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại D ta có:

$B D^{2} + A D^{2} = A B^{2}$ nên $B D = \sqrt{A B^{2} - A D^{2}} = \sqrt{15^{2} - 12^{2}} = 9 (c m)$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ACD vuông tại D ta có:

$C D^{2} + A D^{2} = A C^{2}$ nên $C D = \sqrt{A C^{2} - A D^{2}} = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = 5 (c m)$

Vậy $B C = B D + D C = 9 + 5 = 14 (c m)$ .