Giải bài 5.3 trang 78

. Cho un=1+a+a2+...+an1+b+b2+...+bnun=1+a+a2+...+an1+b+b2+...+bn{u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + ... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ... + {b^n}}}

Đề bài

Cho $u_{n} = \frac{1 + a + a^{2} + . . . + a^{n}}{1 + b + b^{2} + . . . + b^{n}}$ với a, b là các số thực thỏa mãn $| a | < 1, | b | < 1$ . Tìm $lim_{n \to + \infty} u_{n}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Lời giải chi tiết

Ta có: $u_{n} = \frac{1 + a + a^{2} + . . . + a^{n}}{1 + b + b^{2} + . . . + b^{n}} = \frac{\frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}}{\frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}} = \frac{1 - b}{1 - a} . \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - b^{n + 1}}$

Do đó, $lim_{n \to + \infty} u_{n} = \frac{1 - b}{1 - a}$