Giải bài 5.32 trang 72

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A; b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A;

b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh $\hat{D A H} = 2 \hat{B A H}$ , $\hat{H A E} = 2 \hat{H A C}$ , $\hat{B A H} + \hat{H A C} = 90^{o}$ suy ra $\hat{D A H} + \hat{H A E} = 180^{o}$

Do đó, ba điểm D, A, E thẳng hàng.

+ Vì D, E thuộc (A; AH) nên $A E = A D$ . Do đó, D và E đối xứng với nhau qua A.

b) + Gọi O là trung điểm của BC.

+ Chứng minh A thuộc đường tròn tâm O, đường kính BC.

+ Chứng minh $\hat{H B A} = \hat{H A C}$ , $\hat{H A C} = \hat{C A E}$ nên $\hat{H B A} = \hat{C A E}$ .

+ Chứng minh $\hat{C_{1}} = \hat{A_{1}}$ .

+ Chứng minh $\hat{B_{1}} + \hat{C_{1}} = 90^{o}$ , suy ra $\hat{A_{2}} + \hat{A_{1}} = 90^{o}$ hay $\hat{O A E} = 90^{o}$ , suy ra $D E ⊥ O A$ tại A, suy ra, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A.

Lời giải chi tiết

a) Vì $B C ⊥ A H$ tại H nên BC là tiếp tuyến của (A), mà BD là tiếp tuyến của (A) nên AB là phân giác của góc DAH, suy ra $\hat{D A H} = 2 \hat{B A H} = 2 \hat{D A B}$ .

Chứng minh tương tự ta có: $\hat{H A E} = 2 \hat{H A C} = 2 \hat{C A E}$ .

Tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B A H} + \hat{H A C} = 90^{o}$ .

Ta có: $\hat{D A H} + \hat{H A E} = 2 \hat{B A H} + 2 \hat{H A C} = 2 (\hat{B A H} + \hat{H A C}) = {2.90}^{o} = 180^{o}$

Do đó, ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Vì D, E thuộc (A; AH) nên $A E = A D$ . Do đó, D và E đối xứng với nhau qua A.

b) Gọi O là trung điểm của BC.

Tam giác ABC vuông tại A có AO là đường trung tuyến nên $A O = O B = O C$ . Do đó, A thuộc đường tròn tâm O, đường kính BC.

Ta có:

$\hat{H B A} + \hat{C_{1}} = \hat{C_{1}} + \hat{H A C} (= 90^{o})$ nên $\hat{H B A} = \hat{H A C}$ .

Mà $\hat{H A C} = \hat{C A E}$ nên $\hat{H B A} = \hat{C A E}$

Vì $A O = O C$ nên tam giác AOC cân tại O, suy ra $\hat{C_{1}} = \hat{A_{1}}$

Tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B_{1}} + \hat{C_{1}} = 90^{o}$ , suy ra $\hat{A_{2}} + \hat{A_{1}} = 90^{o}$ hay $\hat{O A E} = 90^{o}$ .

Do đó, $D E ⊥ O A$ tại A.

Do đó, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A.