Giải bài 5.34 trang 72

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm (B in left( O right)) và (C in left( {O'} right)) sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và OB//O’C. a) Chứng minh góc BAC là góc vuông. b) Cho biết (R = 3cm), (R' = 1cm) và BC cắt OO’ tại D. Tính độ dài đoạn

Đề bài

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm $B \in (O)$ và $C \in (O^{'})$ sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và OB//O’C.

a) Chứng minh góc BAC là góc vuông.

b) Cho biết $R = 3 c m$ , $R^{'} = 1 c m$ và BC cắt OO’ tại D. Tính độ dài đoạn OD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh tam giác AOB cân tại O nên $\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$ .

+ Tam giác AOB có:

$\hat{A_{1}} + \hat{O_{1}} + \hat{B_{1}} = 2 \hat{A_{1}} + \hat{O_{1}} = 180^{o}$ nên $2 \hat{A_{1}} = 180^{o} - \hat{O_{1}}$ .

+ Chứng minh tam giác AO’C cân tại O’. Do đó, $\hat{A_{2}} = \hat{O^{'} C A}$ .

+ Tam giác AO’C có:

$\hat{A_{2}} + \hat{O_{1}^{'}} + \hat{O^{'} C A} = 2 \hat{A_{2}} + \hat{O_{1}^{'}} = 180^{o}$ nên $2 \hat{A_{2}} = 180^{o} - \hat{O_{1}^{'}}$ .

+ Do đó:

$2 (\hat{A_{1}} + \hat{A_{2}}) = 360^{o} - (\hat{O_{1}} + \hat{O_{1}^{'}})$ (1)

Chứng minh

$\hat{O_{2}} = \hat{O_{1}^{'}}$ , $\hat{O_{2}} + \hat{O_{1}} = 180^{o}$ nên $\hat{O_{1}} + \hat{O_{1}^{'}} = 180^{o}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$2 (\hat{A_{1}} + \hat{A_{2}}) = 360^{o} - 180^{o} = 180^{o}$ nên $\hat{B A C} = 90^{o}$ .

b) + Ta có: $O A = O B = R = 3 c m, O^{'} A = O^{'} C = R^{'} = 1 c m$ .

+ Chứng minh $\frac{D O}{D O^{'}} = \frac{O B}{O^{'} C} = \frac{3}{1}$

+ $D O^{'} = D O - O O^{'} = D O - (O A + O^{'} A)$ $= D O - (3 + 1) = D O - 4$ (4)

+ Do đó, $\frac{D O}{D O - 4} = \frac{3}{1}$ , từ đó tính được DO.

Lời giải chi tiết

a) Vì $O A = O B$ (bán kính của (O)) nên tam giác AOB cân tại O. Do đó, $\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$ .

Tam giác AOB có:

$\hat{A_{1}} + \hat{O_{1}} + \hat{B_{1}} = 2 \hat{A_{1}} + \hat{O_{1}} = 180^{o}$ nên $2 \hat{A_{1}} = 180^{o} - \hat{O_{1}}$ .

Vì $O^{'} A = O^{'} C$ (bán kính của (O’)) nên tam giác AO’C cân tại O’. Do đó, $\hat{A_{2}} = \hat{O^{'} C A}$ .

Tam giác AO’C có:

$\hat{A_{2}} + \hat{O_{1}^{'}} + \hat{O^{'} C A} = 2 \hat{A_{2}} + \hat{O_{1}^{'}} = 180^{o}$ nên $2 \hat{A_{2}} = 180^{o} - \hat{O_{1}^{'}}$ .

Do đó:

$2 (\hat{A_{1}} + \hat{A_{2}}) = 360^{o} - (\hat{O_{1}} + \hat{O_{1}^{'}})$ (1)

Vì OB//O’C nên $\hat{O_{2}} = \hat{O_{1}^{'}}$ (hai góc đồng vị).

Lại có: $\hat{O_{2}} + \hat{O_{1}} = 180^{o}$ nên $\hat{O_{1}} + \hat{O_{1}^{'}} = 180^{o}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có:

$2 (\hat{A_{1}} + \hat{A_{2}}) = 360^{o} - 180^{o} = 180^{o}$ nên $\hat{A_{1}} + \hat{A_{2}} = 90^{o}$ , suy ra $\hat{B A C} = 90^{o}$ .

b) Ta có: $O A = O B = R = 3 c m, O^{'} A = O^{'} C = R^{'} = 1 c m$ .

Tam giác DOB có O’C//OB nên

$\frac{D O}{D O^{'}} = \frac{O B}{O^{'} C} = \frac{3}{1}$ (3)

Lại có:

$D O^{'} = D O - O O^{'} = D O - (O A + O^{'} A) = D O - (3 + 1) = D O - 4 (4)$

Từ (3) và (4) ta có:

$\frac{D O}{D O - 4} = \frac{3}{1}$ , suy ra $D O = 3 (D O - 4)$ , hay $2 D O = 12$ , suy ra $D O = 6 c m$ .